Релятивистская энергия покоя. Релятивистское изменение длин

12.4. Энергия релятивистской частицы

12.4.1. Энергия релятивистской частицы

Полная энергия релятивистской частицы складывается из энергии покоя релятивистской частицы и ее кинетической энергии:

E = E 0 + T ,

Эквивалентность массы и энергии (формула Эйнштейна) позволяет определить энергию покоя релятивистской частицы и ее полную энергию следующим образом:

энергия покоя -

E 0 = m 0 c 2 ,

где m 0 - масса покоя релятивистской частицы (масса частицы в собственной системе отсчета); c - скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 м/с;

полная энергия -

E = mc 2 ,

где m - масса движущейся частицы (масса частицы, движущейся относительно наблюдателя с релятивистской скоростью v ); c - скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 м/с.

Связь между массами m 0 (масса покоящейся частицы) и m (масса движущейся частицы) определяется выражением

Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется разностью:

T = E − E 0 ,

где E - полная энергия движущейся частицы, E = mc 2 ; E 0 - энергия покоя указанной частицы, E 0 = m 0 c 2 ; массы m 0 и m связаны формулой

m = m 0 1 − v 2 c 2 ,

где m 0 - масса частицы в той системе отсчета, относительно которой частица покоится; m - масса частицы в той системе отсчета, относительно которой частица движется со скоростью v ; c - скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 м/с.

В явном виде кинетическая энергия релятивистской частицы определяется формулой

T = m c 2 − m 0 c 2 = m 0 c 2 (1 1 − v 2 c 2 − 1) .

Пример 6. Скорость релятивистской частицы составляет 80 % от скорости света. Определить, во сколько раз полная энергия частицы больше ее кинетической энергии.

Решение . Полная энергия релятивистской частицы складывается из энергии покоя релятивистской частицы и ее кинетической энергии:

E = E 0 + T ,

где E - полная энергия движущейся частицы; E 0 - энергия покоя указанной частицы; T - ее кинетическая энергия.

Отсюда следует, что кинетическая энергия является разностью

T = E − E 0 .

Искомой величиной является отношение

E T = E E − E 0 .

Для упрощения расчетов найдем величину, обратную искомой:

T E = E − E 0 E = 1 − E 0 E ,

где E 0 = m 0 c 2 ; E = mc 2 ; m 0 - масса покоя; m - масса движущейся частицы; c - скорость света в вакууме.

Подстановка выражений для E 0 и E в отношение (T /E ) дает

T E = 1 − m 0 c 2 m c 2 = 1 − m 0 m .

Связь между массами m 0 и m определяется формулой

m = m 0 1 − v 2 c 2 ,

где v - скорость релятивистской частицы, v = 0,80c .

Выразим отсюда отношение масс:

m 0 m = 1 − v 2 c 2

и подставим его в (T /E ):

T E = 1 − 1 − v 2 c 2 .

Рассчитаем:

T E = 1 − 1 − (0,80 c) 2 c 2 = 1 − 0,6 = 0,4 .

Искомой величиной является обратное отношение

E T = 1 0,4 = 2,5 .

Полная энергия релятивистской частицы при указанной скорости превышает ее кинетическую энергию в 2,5 раза.

Теория относительности требует пересмотра и уточнения законов механики. Как мы видели, уравнения классической динамики (второй закон Ньютона) удовлетворяют принципу относительности в отношении преобразований Галилея. Но ведь преобразования Галилея должны быть заменены преобразованиями Лоренца! Поэтому уравнения динамики следует изменить так, чтобы они оставались неизменными при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой согласно преобразованиям Лоренца. При малых скоростях уравнения релятивистской динамики должны переходить в классические, ибо в этой области их справедливость подтверждается на опыте.

Импульс и энергия. В теории относительности, как и в классической механике, для замкнутой физической системы сохраняются импульс и энергия Е, однако релятивистские выражения для них отличаются от соответствующих классических:

здесь - масса частицы. Это масса в той системе отсчета, где частица покоится. Часто ее называют массой покоя частицы. Она совпадает с массой частицы в нерелятивистской механике.

Можно показать, что выражаемая формулами (1) зависимость импульса и энергии частицы от ее скорости в теории относительности с неизбежностью следует из релятивистского эффекта замедления времени в движущейся системе отсчета. Это будет сделано ниже.

Релятивистские энергия и импульс (1) удовлетворяют уравнениям, аналогичным соответствующим уравнениям классической механики:

Релятивистская масса. Иногда коэффициент пропорциональности в (1) между скоростью частицы и ее импульсом

называют релятивистской массой частицы. С ее помощью выражения (1) для импульса и энергии частицы можно записать в компактном виде

Если релятивистской частице, т. е. частице, движущейся со скоростью, близкой к скорости света, сообщить дополнительную энергию, чтобы увеличить ее импульс, то скорость ее при этом увеличится очень незначительно. Можно сказать, что энергия частицы и ее импульс увеличиваются теперь за счет роста ее релятивистской массы. Этот эффект наблюдается в работе ускорителей заряженных частиц высоких энергий и служит наиболее убедительным экспериментальным подтверждением теории относительности.

Энергия покоя. Самое замечательное в формуле заключается в том, что покоящееся тело обладает энергией: полагая в получаем

Энергию называют энергией покоя.

Кинетическая энергия. Кинетическая энергия частицы в некоторой системе отсчета определяется как разность между ее полной энергией и энергией покоя С помощью (1) имеем

Если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, формула (6) переходит в обычное выражение для кинетической энергии частицы в нерелятивистской физике.

Различие между классическим и релятивистским выражениями для кинетической энергии становится особенно существенным, когда скорость частицы приближается к скорости света. При релятивистская кинетическая энергия (6) неограниченно возрастает: частица, обладающая отличной от нуля массой покоя и

Рис. 10. Зависимость кинетической энергии тела от скорости

движущаяся со скоростью света, должна была бы иметь бесконечную кинетическую энергию. Зависимость кинетической энергии от скорости частицы показана на рис. 10.

Пропорциональность массы и энергии. Из формулы (6) следует, что при разгоне тела приращение кинетической энергии сопровождается пропорциональным приращением его релятивистской массы. Вспомним, что важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах - именно в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Поэтому естественно ожидать, что возрастание релятивистской массы тела будет происходить не только при сообщении ему кинетической энергии, но и при любом другом увеличении энергии тела независимо от конкретного вида энергии. Отсюда можно сделать фундаментальное заключение о том, что полная энергия тела пропорциональна его релятивистской массе независимо от того, из каких конкретных видов энергии она состоит.

Поясним сказанное на следующем простом примере. Рассмотрим неупругое столкновение двух одинаковых тел, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, так что в результате столкновения образуется одно тело, которое покоится (рис. 11а).

Рис. 11. Неупругое столкновение, наблюдаемое в разных системах отсчета

Пусть скорость каждого из тел до столкновения равна а масса покоя Массу покоя образовавшегося тела обозначим через Теперь рассмотрим это же столкновение с точки зрения наблюдателя в другой системе отсчета К, движущейся относительно исходной системы К влево (рис. 11б) с малой (нерелятивистской) скоростью -и.

Так как то для преобразования скорости при переходе от К к К можно использовать классический закон сложения скоростей. Закон сохранения импульса требует, чтобы полный импульс тел до столкновения был равен импульсу образовавшегося тела. До столкновения полный импульс системы равен где релятивистская масса сталкивающихся тел; после столкновения он равен ибо вследствие массу образовавшегося тела и в К можно считать равной массе покоя. Таким образом, из закона сохранения импульса следует, что масса покоя образовавшегося в результате неупругого соударения тела равна сумме релятивистских масс сталкивающихся частиц, т. е. она больше, чем сумма масс покоя исходных частиц:

Рассмотренный пример неупругого соударения двух тел, при котором происходит превращение кинетической энергии во внутреннюю энергию, показывает, что увеличение внутренней энергии тела также сопровождается пропорциональным увеличением массы. Этот вывод должен быть распространен на все виды энергии: нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, сжатая пружина имеет большую массу, чем несжатая, и т. п.

Эквивалентность энергии и массы. Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых замечательных выводов теории относительности. Взаимосвязь массы и энергии заслуживает подробного обсуждения.

В классической механике масса тела есть физическая величина, являющаяся количественной характеристикой его инертных свойств, т. е. мера инертности. Это инертная масса. С другой стороны, масса характеризует способность тела создавать поле тяготения и испытывать силу в поле тяготения. Это тяготеющая, или гравитационная, масса. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако то, что меры этих различных проявлений обозначаются одним и тем же словом, не случайно, а обусловлено тем, что оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг другу пропорциональны, так что меры этих свойств можно выражать одним и тем же числом при надлежащем выборе единиц измерения.

Равенство инертной и гравитационной масс есть экспериментальный факт, подтвержденный с огромной степенью точности в опытах Этвеша, Дикке и др. Как же следует отвечать на вопрос: есть ли масса инертная и масса гравитационная одно и то же или нет? По своим проявлениям они различны, но их числовые характеристики пропорциональны друг другу. Такое положение вещей характеризуют словом «эквивалентность».

Аналогичный вопрос возникает в связи с понятиями массы покоя и энергии покоя в теории относительности. Проявления свойств материи, соответствующих массе и энергии, бесспорно различны. Но теория относительности утверждает, что эти свойства неразрывно связаны, пропорциональны друг другу. Поэтому в этом смысле можно говорить об эквивалентности массы покоя и энергии покоя. Выражающее эту эквивалентность соотношение (5) называется формулой Эйнштейна. Она означает, что всякое изменение энергии системы сопровождается эквивалентным изменением ее массы. Это относится к изменениям различных видов внутренней энергии, при которых масса покоя меняется.

О законе сохранения массы. Опыт показывает нам, что в громадном большинстве физических процессов, в которых изменяется внутренняя энергия, масса покоя остается неизменной. Как это согласовать с законом пропорциональности массы и энергии? Дело в том, что обычно подавляющая часть внутренней энергии (и соответствующей ей массы покоя) в превращениях не участвует и в результате оказывается, что определяемая из взвешивания масса практически сохраняется, несмотря на то, что тело выделяет или поглощает энергию. Это объясняется просто недостаточной точностью взвешивания. Для иллюстрации рассмотрим несколько численных примеров.

1. Энергия, высвобождающаяся при сгорании нефти, при взрыве динамита и при других химических превращениях, представляется нам в масштабах повседневного опыта громадной. Однако если перевести ее величину на язык эквивалентной массы, то окажется, что эта масса не составляет и полной величины массы покоя. Например, при соединении водорода с кислорода выделяется около энергии. Масса покоя образовавшейся воды на меньше массы исходных веществ. Такое изменение массы слишком мало для того, чтобы его можно было обнаружить с помощью современных приборов.

2. При неупругом столкновении двух частиц по разогнанных навстречу друг другу до скорости добавочная масса покоя слипшейся пары составляет

(При такой скорости можно пользоваться нерелятивистским выражением для кинетической энергии.) Эта величина намного меньше погрешности, с которой может быть измерена масса

Масса покоя и квантовые закономерности. Естественно задать вопрос: почему при обычных условиях подавляющая часть энергии находится в совершенно пассивном состоянии и в превращениях не участвует? На этот вопрос теория относительности не может дать ответа. Ответ следует искать в области квантовых закономерностей,

одной из характерных особенностей которых является существование устойчивых состояний с дискретными уровнями энергии.

Для элементарных частиц энергия, соответствующая массе покоя, либо превращается в активную форму (излучение) целиком, либо вовсе не превращается. Примером может служить превращение пары электрон-позитрон в гамма-излучение.

У атомов подавляющая часть массы находится в форме массы покоя элементарных частиц, которая в химических реакциях не изменяется. Даже в ядерных реакциях энергия, соответствующая массе покоя тяжелых частиц (нуклонов), входящих в состав ядер, остается пассивной. Но здесь активная часть энергии, т. е. энергия взаимодействия нуклонов, составляет уже заметную долю энергии покоя.

Таким образом, экспериментальное подтверждение релятивистского закона пропорциональности энергии покоя и массы покоя следует искать в мире физики элементарных частиц и ядерной физики. Например, в ядерных реакциях, идущих с выделением энергии, масса покоя конечных продуктов меньше массы покоя ядер, вступающих в реакцию. Соответствующая этому изменению массы энергия с хорошей точностью совпадает с измеренной на опыте кинетической энергией образующихся частиц.

Как импульс и энергия частицы зависят от ее скорости в релятивистской механике?

Какая физическая величина называется массой частицы? Что такое масса покоя? Что такое релятивистская масса?

Покажите, что релятивистское выражение (6) для кинетической энергии переходит в обычное классическое при .

Что такое энергия покоя? В чем заключается принципиальное отличие релятивистского выражения для энергии тела от соответствующего классического?

В каких физических явлениях обнаруживает себя энергия покоя?

Как понимать утверждение об эквивалентности массы и энергии? Приведите примеры проявления этой эквивалентности.

Сохраняется ли масса вещества при химических превращениях?

Вывод выражения для импульса. Дадим обоснование формул (1), приведенных выше без доказательства, анализируя простой мысленный опыт. Для выяснения зависимости импульса частицы от скорости рассмотрим картину абсолютно упругого «скользящего» столкновения двух одинаковых частиц. В системе центра масс это столкновение имеет вид, показанный на рис. 12а: до столкновения частицы У и 2 движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями, после столкновения частицы разлетаются в противоположные стороны с такими же по модулю скоростями, как и до столкновения. Другими словами,

при столкновении происходит только поворот векторов скоростей каждой из частиц на один и тот же небольшой угол

Как будет выглядеть это же столкновение в других системах отсчета? Направим ось х вдоль биссектрисы угла и введем систему отсчета К, движущуюся вдоль оси х относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 1. В этой системе отсчета картина столкновения выгладит так, как показано на рис. 12б: частица 1 движется параллельно оси у, изменив при столкновении направление скорости и импульса на противоположное.

Сохранение х-составляющей полного импульса системы частиц при столкновении выражается соотношением

где - импульсы частиц после столкновения. Так как (рис. 126), требование сохранения импульса означает равенство х-составляющих импульса частиц 1 и 2 в системе отсчета К:

Теперь, наряду с К, введем в рассмотрение систему отсчета К, которая движется относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 2.

Рис. 12. К выводу зависимости массы тела от скорости

В этой системе частица 2 до и после столкновения движется параллельно оси у (рис. 12в). Применяя закон сохранения импульса, убеждаемся, что в этой системе отсчета, как и в системе К, имеет место равенство -составляющих импульса частиц

Но из симметрии картин столкновения на рис. 12б,в легко сделать вывод о том, что модуль импульса частицы 1 в системе К равен модулю импульса частицы 2 в системе отсчета поэтому

Сопоставляя два последних равенства, находим т. е. у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах отсчета К и К. Точно так же находим Другими словами, у-составляющая импульса любой частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости систем отсчета, одинакова в этих системах. В этом и заключается главный вывод из рассмотренного мысленного эксперимента.

Но у-составляющая скорости частицы имеет различное значение в системах отсчета К и К. Согласно формулам преобразования скорости

где есть скорость системы К относительно К. Таким образом, в К у-составляющая скорости частицы 1 меньше, чем в К.

Это уменьшение у-составляющей скорости частицы 1 при переходе от К к К непосредственно связано с релятивистским преобразованием времени: одинаковое в К и К расстояние между штриховыми линиями А и В (рис. 12б, в) частица 1 в системе К проходит за большее время, чем в К. Если в К это время равно (собственное время, так как оба события - пересечение штрихов А и В - происходят в К при одном и том же значении координаты то в системе К это время больше и равно

Вспоминая теперь, что у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах К и К, мы видим, что в системе К, где у-составляющая скорости частицы меньше, этой частице нужно приписать как бы ббльшую массу, если под массой понимать, как и в нерелятивистской физике, коэффициент пропорциональности между скоростью и импульсом. Как уже отмечалось, этот коэффициент называют иногда релятивистской массой. Релятивистская масса частицы зависит от системы отсчета, т. е. является величиной относительной. В той системе отсчета, где скорость частицы много меньше скорости света, для связи между скоростью и импульсом частицы справедливо обычное классическое выражение где есть масса частицы в том смысле, как она понимается в нерелятивистской физике (масса покоя). между скоростью и импульсом. Из приведенного вывода ясно, что это возрастание релятивистской массы, вызванное движением системы отсчета, действительно связано с релятивистским кинематическим эффектом замедления времени.

Возвращаясь к рис. 12, вспомним, что был рассмотрен случай скользящего столкновения, когда составляющая скорости частицы вдоль оси у была много меньше составляющей ее скорости вдоль оси х. В этом предельном случае входящая в полученную формулу относительная скорость систем К и к практически совпадает со скоростью частицы 1 в системе К. Поэтому найденное значение коэффициента пропорциональности между у-составляющими векторов скорости и импульса справедливо и для самих векторов. Таким образом, соотношение (3) доказано.

Вывод выражения для энергии. Выясним теперь, к каким изменениям в выражении для энергии частицы приводит формула для релятивистского импульса.

В релятивистской механике сила вводится таким образом, чтобы соотношение между приращением импульса частицы Др и импульсом силы было таким же, как и в классической физике:

Как с помощью мысленного эксперимента можно показать, что составляющая импульса частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости двух систем отсчета, одинакова в обеих этих системах? Какую роль при этом играют соображения симметрии?

Поясните связь зависимости релятивистской массы частицы от ее скорости с релятивистским кинематическим эффектом замедления времени.

Каким образом можно прийти к релятивистской формуле для кинетической энергии, основываясь на пропорциональности между приращениями кинетической энергии и релятивистской массы?

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у" и z, z" сонаправлены, а относительная скорость υ 0 системы координат К" относительно системы К направлена вдоль общей оси хх" (рис. 5 .1).

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

Релятивистское замедление хода часов

где Δt 0 - интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы K", измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt - интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

Релятивистское сложение скоростей

где υ" - относительная скорость (скорость тела относительно системы K"); υ 0 - переносная скорость (скорость системы K" относительно К), υ0 - абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную.

Релятивистская масса

где т 0 - масса покоя; β - скорость частицы, выраженная в долях скорости света

Релятивистский импульс

, или

Полная энергия релятивистской частицы

где Т - кинетическая энергия частицы; - ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ<<с.

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Космический корабль движется со скоростью υ=0,9 с по направлению к центру Земли. Какое расстояние l пройдет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), за интервал времени Δt 0 =1 с, отсчитанный по часам, находящимся в космическом корабле (K"-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.

Решение. Расстояние l , которое пройдет космический корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), определим по формуле

(1)
где -интервал времени, отсчитанный в K -системе отсчета.
Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитан
ным в K "-системе, соотношением Подставив
выражение в формулу (1), получим

После вычислений найдем

l =619 Мм.

Решение. Пусть в K "-системе стержень лежит в плоскости х"О"у". Из рис. 5 .2, а следует, что собственная длина l 0 стержня и угол φ 0 , который он составляет с осью х", выразятся равенствами

В K -системе те же величины окажутся равными (рис. 5 .2, б)

Заметим, что при переходе от системы К." к К размеры стержня в направлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят релятивистское (лоренцево) сокращение, т. е.

С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством

Заменив в этом выражении на (рис. 5 .2, б), получим

Подставив значения величин в это выражение и произведя
вычисления, найдем

l 0 =15 (3 м.

Для определения угла воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3):

Подставив значения φ и β в это выражение и произведя вычисления, получим

Пример 3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Решение. Релятивистская формула кинетической энергии

Выполнив относительно β преобразования, найдем скорость частицы, выраженную в долях скорости света (β =υ /c ):

(1)

где E 0 - энергия покоя электрона (см. табл. 22).

Вычисления по этой формуле можно производить в любых единицах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.

Подставив числовые значения Е 0 и Т в мега электрон-вольтах, получим

β =0,941.
Так как , то

υ = 2,82-10 8 м/с.

Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинетическую энергию частицы с ее энергией покоя.

Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью υ =0,9 с (где с - скорость света в вакууме).

Решение. Релятивистский импульс

(1)

После вычисления по формуле (1) получим

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя Е 0 этой частицы, т. е.

Так как и , то, учитывая зависимость массы от
скорости, получим

или окончательно

(2)

Сделав вычисления, найдем

T =106 фДж.

Во внесистемных единицах энергия покоя электрона m 0 с 2 =0,5 1 МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим

Т =0,66 МэВ.

Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией T =т 0 c 2 (m 0 - масса покоя частицы) испытывает неупругое столкновение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу т" и массу покоя m 0 " составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т".

Решение. 1. Релятивистскую массу m движущейся частицы
до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии
релятивистской частицы . Так как , то m =
=2т 0 .

2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной частицы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохраняется *: m+m 0 =m", где т +т 0 - суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; т" - релятивистская масса составной частицы. Так как т-2т 0 , то

Массу покоя m 0 " составной частицы найдем из соотношения

(1)
Скорость υ" составной частицы (она совпадает со скоростью V c центра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса р=р", где р- импульс релятивистской частицы до столкновения; р" - импульс составной релятивистской частицы. Выразим р через кинетическую энергию Т:

Так как , то

Релятивистский импульс . Учитывая, что ,
закон сохранения импульса можно записать в виде ,
откуда

Подставив выражения υ" и т" в формулу (I), найдем массу покоя составной частицы:

3. Кинетическую энергию Т" составной релятивистской частицы найдем как разность полной энергии т"с 2 и энергии покоя т 0 "с 2 составной частицы:

Подставив выражения т" и m 0 ", получим

· Этот закон см., например, в кн.: Савельев И. В. Куре общей физики.

М., 1977. Т. I, §70.

Релятивистское изменение длин

и интервалов времени

5.1. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью Δl =0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина l 0 которого равна 1 м?

5 .2. Двое часов после синхронизации были помещены в системы координат К и К", движущиеся друг относительно друга. При какой скорости и их относительного движения возможно обнаружить релятивистское замедление хода часов, если собственная длительность τ0 измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью Δτ=10 пс.

5 .3. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость υ 0 спутника составляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время τ 0 =0,5 года?

5 .4. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью υ=0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

5 .5 . В системе К" покоится стержень, собственная длина l 0 которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол φ 0 =45 ° с осью x" . Определить длину l стержня и угол φ в системе K, если скорость υ о системы K" относительно К равна 0,8 с.

5 .6. В системе К находится квадрат, сторона которого параллельна оси х" . Определить угол φ между его диагоналями в системе К, если система К" движется относительно К со скоростью υ=0,95 с.

5 .7. В лабораторной системе отсчета (K-система) пи-мезон с момента рождения до момента распада пролетел расстояние l =75 м. Скорость υ пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни τ 0 мезона.

5 .8. Собственное время жизни τ 0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние l =6 км. С какой скоростью υ (в долях скорости света) двигался мезон?

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением v по закону

где - масса покоя , т.е. масса материальной точки, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m - масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v .

оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная от релятивистского импульса :

(5.9)

(5.11)

Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условие . Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая . Таким образом, классическая механика - это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.

Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса : релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость - закон взаимосвязи массы и энергии - установил А. Эйнштейн:

(5.13)

Из (5.13) следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся ) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя

Энергия покоя является внутренней энергией тела , которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.

В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.

В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии : изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:

Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.

Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.

Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения:

В релятивистской динамике значение кинетической энергии Е к определяется как разность энергий движущегося Е и покоящегося Е 0 тела:

(5.15)

При уравнение (5.15) переходит в классическое выражение

Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:

(5.16)

Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Краткие выводы:

Специальная теория относительности - это новое учение о пространстве и времени, пришедшее на смену классическим представлениям. В основе СТО лежит положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. При этом скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения. Это положение принято формулировать в виде двух постулатов Эйнштейна - принципа относительности и принципа постоянства скорости света.

Область применения законов классической механики ограничена скоростью движения материального объекта: если скорость тела соизмерима со скоростью света, то необходимо использовать релятивистские формулы. Таким образом, скорость света в вакууме является критерием, определяющим границу применимости классических законов, т.к. она является максимальной скоростью передачи сигналов.

Зависимость массы движущегося тела от скорости движения определяется соотношением

Релятивистский импульс тела и соответственно уравнение динамики его движения

Изменение скорости в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии:

В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела сопровождается эквивалентным изменением ее массы:

Физический смысл этого соотношения заключается в следующем: существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии. Это соотношение является важнейшим для ядерной физики и физики элементарных частиц.

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. В чем заключается физическая сущность механического принципа относительности? Чем отличается принцип относительности Галилея от принципа относительности Эйнштейна?

2. Каковы причины создания специальной теории относительности?

3. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности.

4. Запишите преобразования Лоренца. При каких условиях они переходят в преобразования Галилея?

5. В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей?

6. Как в релятивистской механике масса движущегося тела зависит от скорости?

7. Запишите основное уравнение релятивистской динамики. Чем оно отличается от основного закона ньютоновской механики?

8. В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?

9. Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике?

10. Сформулируйте закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая сущность?с . Определить его релятивистский импульс и кинетическую энергию .

Дано: кг; v =0,7c ; с =3· 10 8 м/с.

Найти: р, E k .

Релятивистский импульс протона вычислим по формуле

Кинетическая энергия частицы

где Е - полная энергия движущегося протона; Е 0 - энергия покоя.

Ответ: р = 5,68·10 -19 Н·с; E k = 7,69·10 -11 Дж.

Задачи для самостоятельного решения

1. С какой скоростью должен двигаться стержень, чтобы размеры его в направлении движения сократились в три раза?

2. Частица движется со скоростью v = 8 c . Определить отношение полной энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя.

3. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в три раза.

4. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого E k = 1 ГэВ.

5. На сколько процентов увеличится масса электрона после прохождения им в ускоряющем электрическом поле разности потенциалов 1,5 МВ?

14. Примеры решения задач

1 . Во сколько раз изменится релятивистский импульс частицы при увеличении ее скорости в к=3 раза. Начальная скорость частицы равна  1 = к 1 с , с = 310 8 м/с – скорость света.

Решение . Релятивистский импульс частицы р =
, где m – масса частицы.

Следовательно, р 2 /р 1 =
/
, где  1 = к 1 с, а  2 = к 1 = кк 1 с.

Отсюда р 2 /р 1 =

2. Протон имеет импульс 988 МэВ/с. Какую кинетическую энергию необходимо сообщить протону для того, чтобы его импульс увеличился вдвое?

Решение. Сравнивая импульс протона с его комптоновским импульсом p 0 = m 0 c = 938 МэВ/c, можно заметить, что p > p 0 , т.е. для решения необходимо пользоваться формулами релятивистской механики.

Связь между полной энергией и импульсом частицы имеет вид:

, (1)

где Е – полная энергия, Е = Е 0 + Т ; Е 0 - энергия покоя; Е 0 = m 0 c 2 ; Т - кинетическая энергия частицы; с - скорость света в вакууме.

Определим кинетическую энергию Т из выражения (1)

. (2)

По условию импульс частицы возрастает вдвое, т.е. p 2 = 2 p 1 .

Следовательно, протону необходимо сообщить дополнительную кинетическую энергию

Т = Т 2 – Т 1 ,

(3)

Поскольку значения величин p 1 и E 0 заданы во внесистемных единицах, то их необходимо перевести в международную систему единиц СИ. Учитывая, что 1 МэВ = 1,6 ·10 -13 Дж, получим

p 1 c = 988·1,6·10 -13 = 1,58·10 -10 Дж

p 2 c = 2·1,58·10 -10 = 3,16·10 -10 Дж

Е 0 = m 0 c 2 =938 МэВ = 1,5·10 -10 Дж.

Подставляя числовые значения в формулу (3), получим:

3. Электрон имеет скорость V = 0,5с. Во сколько раз нужно ее увеличить для того, чтобы импульс электрона удвоился?

Решение Искомая величина определяется отношением n = U/V, где U-новая скорость электрона. Используя формулу (3.1), условие задачи можно переписать в виде

Произведя замену U = nV и соответствующие сокращения, получаем

или

После преобразований получаем ответ

4. Над электроном, летящим со скоростью V = 0,1с, была совершена работа A= 8,2 . 10 -14 Дж. Найти изменение скорости, импульса и кинетической энергии электрона.

Решение Начальные значения импульса P 1 и энергии E 1 найдем с помощью формул (3.1)

При заданном значении скорости
, и тогда

P 1  m 0 V = 0,1m 0 c , E 1  m 0 c 2 = 0,511 МэВ = 8,2 . 10 -14 Дж. Обратим внимание, что численные значения A и E 1 совпадают и равны m 0 c 2 .

Совершаемая над электроном работа идет на изменение его кинетической энергии (т.к. энергия покоя электрона не может измениться) A = T. Соответственно увеличится и полная релятивистская энергия E 2 = E 1 + A. Учитывая, что численные значения A и E 1 совпадают и равны энергии покоя m 0 c 2 , можно записать E 2 = 2 . m 0 c 2 . В соответствии с формулой (3.2) новая кинетическая энергия T 2 = E 2 - m 0 c 2 = m 0 c 2 .

Новые значения импульса и скорости можно определить по формулам:

Тогда

2 . Протон движется со скоростью 0,75с . Определить его релятивистский импульс и кинетическую энергию.

Решение. Релятивистский импульс протона вычислим по формуле

Кинетическая энергия частицы

где Е – полная энергия движущегося протона; Е 0 – энергия покоя.

Ответ: р = 5,68·10 -19 Н·с; E k = 7,69·10 -11 Дж.

5.  + -мезон, летящий со скоростью V = 0,87с, распадается с образованием  + -мезона и нейтрино  по реакции  +   +   . Найти энергию нейтрино и угол между направлениями разлета продуктов реакции, если кинетическая энергия  + мезона равна 73,5 МэВ.

Решение Схема реакции приведена на рис.3.1.

Угол между направлениями разлета  будем искать как угол между векторами импульсов продуктов реакции. Законы сохранения энергии и импульса для этой реакции имеют вид

Энергию  + -мезона можно найти по формуле

Подставив в нее численное значение скорости V = 0,87с, получим
. Таким образом, энергия  + -мезона равна двум энергиям покоя  + -мезона. Тогда на долю кинетической энергии приходится энергия, равная его энергии покоя. Из закона сохранения энергии найдем энергию нейтрино

Заметим, что у нейтрино энергия покоя равна нулю и полученное значение соответствует кинетической энергии нейтрино.

Для определения угла  между направлениями разлета продуктов реакции воспользуемся теоремой косинусов.

где  - искомый угол.

Тогда
.

Величины импульсов каждой частицы определим по формуле

Произведем расчет угла:

15. Закон эквивалентности массы и энергии

В силу однородности времени в релятивистской механике, как и в ньютоновской механике, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется .

В соответствии с законом Эйнштейна полная энергия системы пропорциональна её релятивистской массе:

. (15.1)

Связь энергии системы с её массой универсальна в том смысле, что справедливо и обратное утверждение: с любой энергией Е связана релятивистская масса m :

В релятивистской механике полная энергия системы складывается из её кинетической энергии и энергии покоя:

(15.2)

Здесь:
- энергия покоя;

Е к = (m – m 0)c 2 =
- кинетическая энергия системы.

При скоростях V << c релятивистская кинетическая энергия переходит в классическую

.
.

В релятивистской механике неподвижное тело обладает энергией покоя E 0 = m 0 c 2 , которая не учитывается в классической механике.

Полная энергия замкнутой системы не меняется со временем. Этот закон сохранения энергии справедлив в релятивистской механике также как и в классической.

Найдем связь полной энергии системы с её импульсом:

. (15.3)

Отсюда можно получить ещё одну величину, инвариантную относительно преобразований Лоренца:

Действительно, ведь масса покоя - m 0 и скорость света - с - инвариантные величины. Инвариантность выражения (15.3) подтверждена экспериментально в опытах с быстрыми частицами.

16. Примеры решения задач

1 . Полная энергия электрона в ускорителе Е = 1,5 ГэВ . На сколько скорость электрона  отличается от скорости света с ?

Решение . Полная энергия электрона

E =
,

где E 0 = m 0 c 2 = 0,512 МэВ – энергия покоя электрона. Отсюда
, или с 2 -  2 = (с-  )(с+  ) = с 2
. Примем, что с+   2 с (  с, т.к. Е >> E 0 ).

В результате получаем

c-  =
.

Ответ: c- =
= 17,5 м/c.

2. Нагретая добела железная деталь охлаждена до комнатной температуры. Произошло ли изменение массы детали?

Решение. Да, произошло, на величину m = Q/c 2 , где Q – количество теплоты, отданное деталью окружающей среде при ее охлаждении.

3. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы приобрести скорость, равную 0,90с?

Решение. В данном случае силы электрического поля, перемещая заряженную частицу (электрон) совершают работу .

Полагая начальную кинетическую энергию частицы равной нулю, получим, что работа сил электрического поля равна кинетической энергии, приобретенной электроном, когда он пройдет искомую разность потенциалов U, т.е.

Так как в данном случае скорость частицы близка к скорости света, то классическое выражение кинетической энергии
заменяется релятивистской формулой

Е к = (m – m 0)c 2 =
,

где =0,90.

Выполнив вычисления, находим:

U=
В=0,66 МВ.

4. Покоящаяся нейтральная частица распалась на протон p + с кинетической энергией T Р = 5,3 МэВ и  - -мезон. Найти массу распавшейся частицы.

Решение. Запишем реакцию X  p + +  - , где X - неизвестная частица. Законы сохранения энергии и импульса для этой реакции имеют вид

Очевидно, что импульсы протона и  - -мезона равны по величине и противоположно направлены, т.е.
Тогда получим

Отсюда можно найти кинетическую энергию  - -мезона. Для этого нужно решить квадратное уравнение относительно неизвестной кинетической энергии  - -мезона

Решая его, получим = 32 МэВ. Тогда масса распавшейся частицы находится из закона сохранения энергии

По табличным данным можно идентифицировать распавшуюся частицу. Это был  -гиперон.

5. На диаграмме пространства-времени показаны три события A, B, C, которые произошли на оси OX некоторой инерциальной системы отсчета. Считая, что выполняются условия, приведенные на рисунке, найти: а) промежуток времени между событиями A и B в той системе отсчета, где оба события произошли в одной точке; в) расстояние между точками A и C в той системе отсчета, где эти события одновременны.

Решение. Прежде всего, необходимо разобраться с диаграммой. Ось ординат соответствует оси времени, но масштаб необычен. Для удобства время умножено на скорость света с = 3 . 10 8 м/с. При этом размерность стала соответствовать размерности пространственной координаты. Диаграмма представляет собой координатную сетку для иллюстрации закона движения x = x(t). С помощью такой диаграммы удобно устанавливать причинно-временную связь между двумя событиями. Дело в том, что самая “быстрая связь” (передача информации и т.п.) между двумя событиями может быть осуществлена с помощью светового импульса. Законы движения двух световых импульсов, вышедших из точки A в положительном и отрицательном направлениях оси OX, на диаграмме представляют собой две прямые, наклоненные под углами 45 0 к оси OX.

Линии законов движения “объектов” вышедших из точки A с меньшими скоростями (V c.

Для ответа на первый вопрос задачи целесообразно использовать инвариантность интервала (2.4). При этом учтем, что (y АВ) 2 = (y’ АВ) 2 = 0 и (z АВ) 2 = (z’ АВ) 2 . По условию задачи события A и B произошли в одной точке некоторой системы {K’}. Это означает, что

(x’ АВ) 2 = 0 и c 2 (t АВ) 2 - (x АВ) 2 = c 2 (t’ АВ) 2 .

Тогда

Из диаграммы следует, что ct А = 1 м, x А = 2 м, ct В = 6 м, x В = 5 м. После подстановки этих значений и расчетов получаем

(t’ АВ)  1,3 . 10 -8 с.

Заметим, что если события A и B имеют отношение к одному объекту, то найденное время является собственным временем данного объекта, например, временем жизни элементарной частицы.

Во втором вопросе задачи содержится условие одновременности событий A и C в некоторой системе отсчета { S ’’} (отличной от { S ’} и { S }), т.е. t’’= 0. В этом случае инвариантность пространственно-временного интервала позволяет написать

c 2 (t АС) 2 - (x АС) 2 = -(x’’ А C) 2 .

Заметим, что если события A и C имеют отношение к крайним координатам одного и того же протяженного объекта, то полученная величина соответствует размеру объекта в { S ’’} системе отсчета (условием измерения длины движущегося объекта является одновременность фиксации координат его крайних точек).

6. Современные ускорители строятся с таким расчетом, чтобы они могли разгонять частицы до энергий, достаточных для образования новых частиц. Например, если ускоренными протонами облучается мишень, содержащая протоны (атомы водорода), то возможна реакция , где - протон, - антипротон (частица с массой протона, но с отрицательным зарядом). Пороговой энергией реакции называется минимально необходимая для ее осуществления кинетическая энергия бомбардирующих частиц. Определить величину пороговой энергии.

Решение. В рассматриваемой реакции часть кинетической энергии бомбардирующего протона превращается в энергию покоя протона и антипротона, а другая часть остается в виде кинетической энергии продуктов реакции. Пороговая энергия реакции соответствует случаю минимума кинетической энергии ее продуктов. Эта ситуация реализуется при отсутствии разлета продуктов реакции, когда четыре частицы, перечисленные в правой части формулы реакции, движутся вместе как одна частица с массой покоя 4. Для решения задачи достаточно записать законы сохранения энергии и импульса. Если пороговую кинетическую энергию налетающего протона обозначить T P , а кинетическую энергию продуктов реакции 4T 1 , то эти законы будут иметь вид

Можно получить систему уравнений с неизвестными T P и T 1 .

Решая ее, найдем пороговую кинетическую энергию

МэВ.

Таким образом, для образования двух новых частиц потребовалось разогнать протон до кинетической энергии в три раза большей, чем суммарная энергия покоя этих частиц.

17. Вопросы для самоконтроля и повторения

В чем заключается физическая сущность механического принципа относительности? Чем отличается принцип относительности Галилея от принципа относительности Эйнштейна?

Каковы причины создания специальной теории относительности?

Сформулируйте постулаты специальной теории относительности.

Запишите преобразования Лоренца. При каких условиях они переходят в преобразования Галилея?

В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей?

Как в релятивистской механике масса движущегося тела зависит от скорости?

Запишите основное уравнение релятивистской динамики. Чем оно отличается от основного закона ньютоновской механики?

В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?

Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике?

Сформулируйте закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая сущность?

18. Задания для выполнения самостоятельной работы

1. Две космические ракеты движутся по одной прямой в одном направлении со скоростями 0,6 с и 0,8 с относительно неподвижного наблюдателя. Определите скорость удаления второй ракеты от первой по классической и релятивистской формулам сложения скоростей.

Ответ: 0,2с; 0,385с.

2. Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно неподвижного наблюдателя с одинаковой скоростью, равной 0,5 с. Определить скорость сближения ракет, исходя из закона сложения скоростей: 1) в классической механике; 2) в специальной теории относительности.

Ответ: 1) с ; 2) 0,8 с.

3. Частица движется со скоростью υ = 0,8 с. Определить отношение массы релятивистской частицы к ее массе покоя.

Ответ: 1,67.

4. Две ракеты, снабженные ионными двигателями, приближаются одна к другой с противоположно направленными скоростями, равными 0,80 с и 0,70 с , относительно наблюдателя, покоящегося в некоторой точке на линии их сближения. Определите относительную скорость ракет по законам классической и релятивистской механики.

Ответ: 1,5с ;0,96с.

5. Определите количество лет, прошедших на Земле, если в космическом корабле при скорости его движения относительно Земли, равной 0,80 с , прошло 12 лет.

Ответ: 20 лет

6. Определите промежуток времени, прошедший за 35 земных лет на звездолете, движущемся относительно Земли со скоростью 0,40 с .

Ответ: 32 года.

7. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью 0,60 с . Определите, во сколько раз замедляется ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя.

Ответ: 1,25.

8. Определите скорость движения космического корабля относительно Земли, при которой часы на нем идут в четыре раза медленнее, чем на Земле. Ответ: 2,9 10 8 м/с.

9. Собственная длина стержня равна 2,0 м. Определите его длину для наблюдателя, относительно которого стержень перемещается со скоростью 0,98 с , направленной вдоль стержня.

Ответ: 0,4 м.

10. Жесткий стержень длиной 1 м измеряется двумя наблюдателями: первый покоится относительно стержня, второй движется вдоль него. Определите скорость движения второго наблюдателя, если измеренная им длина стержня равна 0,50 м.

Ответ: 0,866с .

11. Определите скорость движения космического корабля, если его продольные размеры для земного наблюдателя кажутся в пять раз меньше «истинных».

Ответ: 2,94 10 8 м/с.

12. Определите размеры и форму квадратной пластинки с длиной стороны 1 м, которая удаляется от наблюдателя по прямой, параллельной одной из ее сторон, с относительной скоростью 0,80 c . Сравните площади покоящейся и движущейся пластинки.

Ответ: Прямоугольник со сторонами 1 м и 0,6 м. Площадь уменьшилась на 0,4 м 2 .

13. Определите импульс электрона, летящего со скоростью 0,98 с .

Ответ: 1,34 10 –21 кг м/с.

14. Определите кинетическую энергию электрона при движении его со скоростью 0,75 с по классическим и релятивистским формулам.

Ответ: 2,3 10 –14 Дж; 4 10 –14 Дж.

15 Определите скорость движения любой частицы вещества, при которой ее кинетическая энергия равна энергии покоя.

Ответ: 0,866с = 2,596 108 м/с.

16. Определить на сколько процентов масса релятивистской элементарной частицы, вылетающей из ускорителя со скоростью υ = 0,75 с, больше ее массы покоя.

Ответ: На 51,2%.

17. Определить скорость движения релятивистской частицы, если ее масса в два раза больше массы покоя.

Ответ: 0,866 с.

18. Определите энергию покоя электрона и нейтрона.

Ответ: 0,51 МэВ; 939,6 МэВ.

19. Мезон, движущийся со скоростью 0,99 с относительно Земли, пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние 4,7 км. Определите собственное время жизни мезона и расстояние, которое пролетел бы мезон относительно Земли, если бы релятивистский эффект относительности интервала времени не имел места.

Ответ: 2,21 мкс; 665 м.

20. Жесткий стержень покоится в подвижной системе отсчета и ориентирован в ней под углом 37° к оси абсцисс. Определите скорость движения этого стержня параллельно оси абсцисс неподвижной системы отсчета, при которой он с точки зрения неподвижного наблюдателя наклонен к ней под углом 45°.

Ответ: 0,66с .

21. Определите скорость движения тела, если его плотность возросла на 10 %.

Ответ: 0,42с .

22. Определите скорость движения стержня, при которой релятивистское сокращение его длины составит 20 %.

Ответ : 0,6с .

23. Определите скорость и кинетическую энергию, которая должна быть сообщена космическому кораблю массой 104 кг, чтобы его часы по возвращении на Землю показывали вдвое меньшее время, чем часы на Земле.

Ответ: 260 000 км/с; 9 10 20 Дж.

24. Определите работу, совершаемую однородным электрическим полем при разгоне электрона от скорости 0,980 c до 0,999 c .

Ответ: 8,9 10 6 эВ.

25. Протон, имеющий начальную скорость 0,9 c , попадает в однородное электрическое поле и, двигаясь вдоль линии напряженности, полностью теряет свою скорость. Определите разность потенциалов двух точек, между которыми перемещался протон.

Ответ: 1,216 10 9 В.

26. Определите скорость и импульс частицы массой m , если ее кинетическая энергия равна удвоенной энергии покоя.

Ответ: 0,943с ; 2,83mc .

27. При какой скорости  кинетическая энергия частицы составляет половину (k = 1/2 ) ее энергии покоя?

Ответ:  =
= 2,2·10 8 м/с.

Указание: Учесть, что в релятивистской механике кинетическая энергия частицы E k равна разности между полной энергией E = mc 2 =
и энергией покоя E 0 = m 0 c 2 .

28. Один из двух братьев-близнецов (А) остается на Земле, а другой (В) отправляется в кругосветное путешествие на межзвездном корабле со скоростью =0,99999с , где с – скорость света в вакууме. Через пять лет по своим часам брат В возвращается обратно. На сколько лет постарел на Земле его брат А за это время?

29. Внутри лаборатории S ’, движущейся относительно другой лаборатории S со скоростью , находится клетка с птичкой, расположенная посередине между передней и задней стенками. Дверца клетки (одинаково удаленная от обеих стенок) открывается, и птичка вылетает, когда световые сигналы, пущенные одновременно от задней и передней стенок лаборатории S ’, приходят к устройству дверцы. Согласно специальной теории относительности одновременность событий относительна. Не ведет ли здесь это к тому, что по отношению к лаборатории S птичка по-прежнему находится в заточении?

30. Увидев на расстоянии l 0 зайца, бегущего ему навстречу со скоростью , охотник выстрелил. В какой момент времени и на каком расстоянии будет поражен заяц, если скорость пули u ? Дать ответ при классическом и релятивистском подходах к решению задачи.

31. С космической станции стартует со скоростью космический корабль. На станции остается любимая девушка космонавта. Она хочет поздравить его с днем рождения, который, как ей известно, должен наступить спустя время Т после старта (по календарю станции). Когда нужно послать радиосигнал с поздравлением, чтобы оно пришло на космический корабль вовремя?

механикиДокумент

... : Методические рекомендации для учителя/Д. Д. Данилов, О. А. Данилова , С. С. Кузнецова.-М.:Баласс,2001.-255, с. .-ISBN ... . Гольденблат, Иосиф Израилевич. "Парадоксы времени" в релятивистской механике /И. И. Гольденблат.-М.:Наука,1972.-80 с.:ил...

Негосударственное аккредитованное основная образовательная программа высшего профессионального образования направление подготовки 030300 62 «психология»

Основная образовательная программа

Классической, квантовой и релятивистской механиках . Законы сохранения в классической механике . Механическая картина мира. ... Е. И. Николаева. - М. : ПЭРСЭ, 2008 Данилова , Н. Н. Психофизиология [ЭР] / Н. Н. Данилова . - М. : Аспект-Пресс, 2001 Электронная...