Абсолютное и условное схождение ряда. Абсолютная и условная сходимости рядов. Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов
В результате изучения данной главы студент должен: знать
- суть метода зон Френеля;
- теорию дифракции на круглом отверстии и круглом диске;
- теорию дифракции в параллельных лучах от одной щели;
- теорию дифракционной решетки (условия максимумов и минимумов, дисперсия и разрешающая способность решетки);
- теорию дифракции от объемных решеток и формулу Брэгга - Вульфа; уметь
- применять метод зон Френеля для расчета дифракционных картин;
- решать типовые прикладные физические задачи на дифракцию света; владеть
- навыками использования стандартных методов и моделей математики применительно к дифракции света;
- навыками проведения физического эксперимента, а также обработки результатов эксперимента по дифракции света.
Метод зон Френеля. Дифракция на круглом отверстии и круглом диске
Дифракцией света называют явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Проиллюстрировать это явление могут волны на воде, которые огибают даже довольно крупное препятствие, а мелкое (по сравнению с длиной волны) препятствие проходят так, как будто его и не было. И свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина - чередующиеся светлые и темные кольца. Если препятствие прямолинейное (нить, щель, край экрана), то на экране возникают параллельные полосы.
Рассмотрим сначала дифракцию на круглом отверстии - дифракционную задачу о прохождении плоской монохроматической волны через небольшое круглое отверстие радиуса R в непрозрачном экране (рис. 27.1). Точка наблюдения Р находится на оси симметрии на достаточно большом расстоянии L от экрана, причем
где X - длина волны.
Рис. 27.1
В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля можно разбить волновую поверхность плоскости отверстия на набор вторичных источников, волны от которых дают интерференционную картину в точке Р. Исходя из круговой симметрии задачи, Френель разбил волновую поверхность падающей волны на кольцевые зоны (зоны Френеля) так, чтобы расстояния от границ соседних зон до точки Р отличались на полдлины волны:
Таким образом, волновая поверхность будет разбита на концентрические окружности (см. рис. 27.1). Найдем по теореме Пифагора радиусы р т этих окружностей (зон Френеля):
Здесь учтено условие удаленности экрана от отверстия, которое соблюдается на опыте обычно с большим запасом. Количество зон Френеля, укладывающихся на отверстии, определяется радиусом отверстия R:
где т - не обязательно целое число. Хотя для четкой интерференционной картины, как будет видно ниже, т с достаточно высокой точностью должно быть целым. Результат интерференции в точке Р зависит от числа т участвующих в интерференции зон Френеля. Покажем, что все зоны имеют одинаковую площадь S m:
Одинаковые по площади зоны, излучающие одинаковую по амплитуде волну, на первый взгляд, должны давать одинаковый вклад в освещенность в точке наблюдения. Однако это не совсем так. Чем больше номер зоны, тем больше угол а между лучом г т и нормалью к излучающей волновой поверхности. К тому же растет и расстояние до точки наблюдения г т. Оба эти фактора приводят к небольшому уменьшению амплитуды колебаний с увеличением т в точке наблюдения А т> обеспечиваемой зоной т:
Существенно, что возбуждаемые соседними зонами колебания находятся в противофазе, поскольку расстояния от них до точки наблюдения отличаются на Х/2. Поэтому волна от последующей зоны почти гасит волну от предыдущей зоны. При этом суммарная амплитуда в точке наблюдения равна конечной сумме, число слагаемых в которой ограничено величиной т
В результате группировки амплитуд видно, что суммарная амплитуда колебаний в точке наблюдения всегда меньше амплитуды колебаний, которые вызвала бы одна первая зона Френеля. Если бы отверстие было бесконечно большим и были открыты все зоны Френеля, то до точки наблюдения дошла бы невозмущенная препятствием волна с амплитудой А 0 . Тогда имеем в результате группировки амплитуд бесконечную сумму, упрощающуюся с учетом равенства (27.7):
Таким образом, действие (амплитуда), вызванное всей волновой поверхностью невозмущенной волны, равно лишь половине действия одной первой зоны. Иными словами, если отверстие в непрозрачном экране оставляет открытой одну зону Френеля, то амплитуда колебаний в точке наблюдения возрастает в 2 раза (а интенсивность - в 4 раза) по сравнению с действием невозмущенной волны. Если открыть две зоны, то амплитуда колебаний практически обращается в нуль. А если изготовить непрозрачный экран, который оставлял бы открытыми только несколько нечетных (или только несколько четных) зон, то амплитуда колебаний в точке наблюдения резко возрастет. Так, если открыты первая, третья, пятая и седьмая зоны, то амплитуда колебаний возрастает в 8 раз, а интенсивность - в 64 раза. Можно сделать вывод, что такие зонные пластинки обладают свойством фокусировать свет.
Перейдем теперь к задаче о дифракции на круглом диске , не пропускающем свет. Предположим, что при этом зоны Френеля с номерами от 1 до т оказываются закрытыми. Тогда амплитуда колебаний в точке наблюдения по аналогии с предыдущими рассуждениями дается бесконечной суммой:
Здесь учтено, что выражения в скобках в соответствии с равенством (27.7) равны нулю. Если экран закрывает не слишком много зон, то
и аналогично формуле (27.10)
Таким образом, в центре картины при дифракции света на диске наблюдается интерференционный максимум, называемый пятном Пуассона. Э го пятно окружено светлыми и темными дифракционными кольцами, причем интенсивность максимумов убывает но мере удаления от центра.
Оценим теперь характерные размеры зон Френеля. Пусть, например, дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии L- 1м от препятствия, а длина волны света X = 0,5 мкм (зеленый свет). Тогда радиус первой зоны Френеля по формуле (27.3) равен
р, = 4XL ~ 0,71 мм, а радиус сотой зоны Френеля
p wo = V100XL ~ 7,1 мм.
Дифракционные явления проявляются наиболее отчетливо, когда на
препятствии укладывается малое число зон (27.4): т = ~гу ~ 1, или
Это соотношение между длиной волны X, размером препятствия R и расстоянием от препятствия до точки наблюдения L можно рассматривать как границу применимости геометрической оптики. При больших длинах волн дифракция существенна, а при меньших работают геометрическая оптика и понятие геометрического луча света.
В лекции 2 мы рассматривали явления перераспределения интенсивности светового потока в результате суперпозиции волн . Это явление мы называли интерференцией и рассмотрели интерференционную картину от двух источников. Настоящая лекция - непосредственное продолжение предыдущей. Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн.
По историческим причинам перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников принято называть интерференцией . Перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией волн. (Когда источников мало, напр. два, то результат их совместного действия обычно называют интерференцией, а если источников много, то чаще говорят о дифракции .)
Дифракцией называется любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики.
В геометрической оптике пользуются понятием светового луча - узкого пучка света, распространяющегося прямолинейно. Прямолинейность распространения света объясняется теорией Ньютона и подтверждается наличием тени позади непрозрачного источника, находящегося на пути света от точечного источника. Но - противоречие с волновой теорией, т.к. по принципу Гюйгенса каждую точку поля волны можно рассматривать как источник вторичных волн, распространяющихся по всем направлениям, в том числе и в область геометрической тени препятствия (волны должны огибать препятствия). Как может возникать тень? Теория Гюйгенса не могла дать ответа. Но теория Ньютона не могла объяснить явление интерференции и нарушение закона прямолинейного распространения света при прохождении света сквозь достаточно узкие щели и отверстия, а так же при освещении небольших непрозрачных препятствий.
В этих случаях на экране, установленном позади отверстий или препятствий, вместо четко разграниченных областей света и тени наблюдается система интерференционных максимумов и минимумов освещенности. Даже для препятствий и отверстий, имеющих большие размеры, нет резкого перехода от тени к свету. Всегда существует некоторая переходная область, в которой можно обнаружить слабые интерференционные максимумы и минимумы. Т. е. при прохождении волн вблизи границ непрозрачных или прозрачных тел, сквозь малые отверстия и т.д., волны отклоняются от прямолинейного распространения (законов геометрической оптики), и эти отклонения сопровождаются их интерференционными явлениями.
Свойства дифракции:
1) Дифракция волн - характерная особенность распространения волн независимо от их природы.
2) Волны могут попадать в область геометрической тени (огибать препятствия, проникать через не-большие отверстия в экранах…). На-пр., звук хорошо слышен за углом дома - звуковая волна его огибает. Дифракцией радиоволн вокруг поверхности Земли объясняется прием радиосигналов в диапазоне длинных и средних радиоволн за пределами прямой видимости излучающей антенны.
3) Дифракция волн зависит от соотношения между длиной волны и размером объекта, вызывающего дифракцию. В пределе при законы волновой оптики переходят в законы геометрической оптики отклонения от законов геометрической оптики при прочих равных условиях оказывается тем меньше, чем меньше длина волны. Поэтому легко наблюдать дифракцию звуковых, сейсмических и радиоволн, для которых ~ от м до км; гораздо труднее наблюдать без специальных устройств дифракцию света. Дифракция обнаруживается в тех случаях, когда размеры огибаемых препятствий соизмеримы с длиной волны .
Дифракция света была открыта в 17 в. итальянским физиком и астрономом Ф. Гримальди и была объяснена в начале 19 в. французским физиком О. Френелем , что стало одним из основных доказательств волновой природы света.
Явление дифракции можно объяснить с по-мощью принципа Гюйгенса-Френеля .
Принцип Гюйгенса: каждая точка, до кото-рой доходит волна в данный момент времени, служит центром вто-ричных (элементарных) волн. Огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.
Допущения:
1) волна является плоской;
2) на отверстие свет пада-ет нормально;
3) экран непрозрачный; ма-териал экрана считается в первом приближении не играющим роли;
4) волны распространяется в однородной изотропной среде;
5) обратные элементарные волны не должны приниматься во внимание.
Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка во-лнового фронта служит источником вто-ричных волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огиба-ющую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т. е. волна огибает края отверстия - наблюдается дифракция - свет является волновым процессом.
Выводы: принцип Гюйгенса
1) является геометрическим методом построения фронта волны;
2) решает за-дачу о направлении распространения во-лнового фронта;
3) дает объяснение распространения волн, согласующееся с законами геометрической оптики;
4) упрощает задачу определения влияния всего волнового процесса, совершающегося в некотором пространстве, на точку, сведя ее к вычислению действия на данную точку произвольно выбранной волновой поверхности.
5) но: справедлив при условии, что дли-на волны много меньше размеров волнового фронта;
6) не затрагивает вопро-са об амплитуде и интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям.
Принцип Гюйгенса дополнен Френелем
Принцип Гюйгенса-Френеля : волновое возмущение в некоторой точке Р можно рассматривать как результат интерференции ко-герентных вторичных вол, излучаемых каждым элементом некоторой волновой поверхности.
Замечание:
1) Результат интерференция вторичных элементарных волн зависит от направления.
2) Вторичные источники явл. фиктивными. Ими могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник. Обычно в ка-честве поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, все фик-тивные источники действуют синфазно.
Допущения Френеля:
1) исключил возможность возникновения обратных вторичных волн;
2) предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии — такая же, как при отсутствии экрана.
Вывод: принцип Гюйгенса-Френеля служит приемом для расчетов направления распространения волн и распределения их интенсивности (амплитуды) по различным направлениям.
1) Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства. Амплитуда волны, прошедшей экран, определяется расчетом в точке наблюдения интерференции вторичных волн от вторичных источников, располагающихся в отверстии экрана.
2) Математически строгое решение дифракционных задач на основе волнового уравнения с граничными условиями, зависящими от характера препятствий, пред-ставляет исключительные трудности. Применяются приближенные методы решения, напр. метод зон Френеля.
3) Принцип Гюйгенса-Френеля в рамках волновой теории объяснил прямолинейное распространение света.
Вычисление интеграла в пункте в общем случае - трудная задача.
В случаях, если в задаче существует симметрия, амплитуду результирующего колебания можно найти методом зон Френеля, не прибегая к вычислению интеграла.
Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP. Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на λ/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.
Что дает такое разбиение для расчета интенсивности в точке P? Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна λ/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.
Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.
Происходит это из-за увеличения с ростом m угла между нормалью к волновой поверхности и направлением на точку P. Значит гашение колебаний соседних зон будет не совсем полным.
Дифракция Френеля.
Пусть на пути сферической световой волны, испускаемой источником S, расположен непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r 0 . Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в точке P будет наблюдаться минимум, так как все открытые зоны можно объединить в соседние пары, колебания которых в точке P приблизительно гасят друг друга.
При нечетном числе зон в точке P будет максимум, так как колебания одной зоны останутся не погашенными.
Можно показать, что радиус зоны Френеля с номером m при не очень больших m:
.
Расстояние "a" примерно равно расстоянию от источника до преграды, расстояние "b" - от преграды до точки наблюдения P.
Если отверстие оставляет открытым целое число зон Френеля, то, приравняв r 0 и r m , получим формулу для подсчета числа открытых зон Френеля:
.
При m четном в точке P будет минимум интенсивности, при нечетном - максимум.
Пятно Пуассона.
|
e s |
Этот результат показался в свое время Пуассону столь невероятным, что он выдвинул его как возражение против рассуждений и расчетов Френеля при рассмотрении дифракции. Однако, когда был проведен соответствующий опыт, такое светлое пятнышко в центра геометрической тени было обнаружено. С тех пор оно носит название пятна Пуассона, хотя он не допускал и самой возможности его существования.
Пятно Пуассона – светлое пятно в центре геометрической тени от непрозрачного объекта. Пятно Пуассона обусловлено загибанием света в область геометрической тени.
Для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке пр-ва. Метод З. Ф. используется при рассмотрении задач о дифракции волн в соответствии с Гюйгенса - Френеля принципом. Рассмотрим распространение монохроматической световой волны из точки Q(источник) в к.-л. точку наблюдения Р (рис.).
Согласно принципу Гюйгенса - Френеля, источника Q заменяют действием воображаемых источников, расположенных на вспомогат. поверхности S, в кач-ве к-рой выбирают поверхность фронта сферич. волны, идущей из Q. Далее поверхность S разбивают на кольцевые зоны так, чтобы расстояния от краёв зоны до точки наблюдения Р отличались на l/2: Ра=РО+l/2; Рb=Ра+l/2; Рс=Рb+l/2 (О - точка пересечения поверхности волны с линией PQ, l - ). Образованные т. о. равновеликие участки поверхности S наз. З. Ф. Участок Оа сферич. поверхности S наз. первой З. Ф., аb - второй, bc - третьей З. Ф. и т. д. Радиус m-й З. Ф. в случае дифракции на круглых отверстиях и экранах определяется . приближённым выражением (при ml
где R - расстояние от источника до отверстия, r0 - расстояние от отверстия (или экрана) до точки наблюдения. В случае дифракции на прямолинейных структурах (прямолинейный край экрана, щель) размер m-й З. Ф. (расстояние внеш. края зоны от линии, соединяющей источник и точку наблюдения) приближённо равен O(mr0l).
Волн. процесс в точке Р можно рассматривать как результат интерференции волн, приходящих в точку наблюдения от каждой З. Ф. в отдельности, приняв во внимание, что от каждой зоны медленно убывает с ростом номера зоны, а фазы колебаний, вызываемых в точке Р смежными зонами, противоположны. Поэтому волны, приходящие в точку наблюдения от двух смежных зон, ослабляют друг друга; амплитуда результирующего в точке Р меньше, чем амплитуда, создаваемая действием одной центр. зоны.
Метод разбиения на З. Ф. наглядно объясняет прямолинейное распространение света с точки зрения волн. природы света. Он позволяет просто составить качественное, а в ряде случаев и достаточно точное количеств. представление о результатах дифракции волн при разл. сложных условиях их распространения. Экран, состоящий из системы концентрич. колец, соответствующих З. Ф. (см. ЗОННАЯ ПЛАСТИНКА), может дать, как и , усиление освещённости на оси или даже создать изображение. Метод З. Ф. применим не только в оптике, но и при изучении распространения радио- и . волн.
Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .
ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ
См. Френеля зоны.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .
Смотреть что такое "ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ" в других словарях:
Участки, на которые можно разбить поверхность световой (или звуковой) волны для вычисления результатов дифракции света (См. Дифракция света) (или звука). Впервые этот метод применил О. Френель в 1815 19. Суть метода такова. Пусть от… …
ФРЕНЕЛЯ - (1) дифракция (см.) сферической световой волны, при рассмотрении которой нельзя пренебречь кривизной поверхности падающей и дифрагировавшей (либо только дифрагировавшей) волн. В центре дифракционной картины от круглого непрозрачного диска всегда… … Большая политехническая энциклопедия
Участки, на которые разбивается волновая поверхность при рассмотрении дифракционных волн (Гюйгенса Френеля принцип). Зоны Френеля выбираются так, чтобы удаление каждой следующей зоны от точки наблюдения было на половину длины волны больше, чем… …
Дифракция сферич. световой волны на неоднородности (напр., отверстии в экране), размер к рой b сравним с диаметром первой зоны Френеля?(z?): b=?(z?) (дифракция в сходящихся лучах), где z расстояние точки наблюдения до экрана. Назв. в честь франц … Физическая энциклопедия
Участки, на которые разбивают волновую поверхность при рассмотрении дифракции волн (Гюйгенса Френеля принцип). Зоны Френеля выбираются так, чтобы удаление каждой следующей зоны от точки наблюдения было на половину длины волны больше, чем удаление … Энциклопедический словарь
Дифракция сферической световой волны на неоднородности (например, отверстии), размер которой сравним с диаметром одной из зон Френеля (См. Зоны Френеля). Название дано в честь изучившего этот вид дифракции О. Ж. Френеля (См. Френель).… … Большая советская энциклопедия
Участки, на к рые разбивают поверхность фронта световой волны для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке про странства. Метод Ф. з. используется при рассмотрении задач о дифракции волн в соответствии с Гюйгенса… … Физическая энциклопедия
Дифракция сферической электромагнитной волны на неоднородности, напр., отверстии в экране, размер которого b сравним с размером Френеля зоны, т. е. , где z расстояние точки наблюдения от экрана, ?? длина волны. Назван по имени О. Ж. Френеля … Большой Энциклопедический словарь
Дифракция сферической электромагнитной волны на неоднородности, например отверстии в экране, размер которого b сравним с размером Френеля зоны, то есть, где z расстояние точки наблюдения от экрана, λ длина волны. Названа по имени О. Ж. Френеля … Энциклопедический словарь
Участки, на к рые разбивают волновую поверхность при рассмотрении дифракции волн (Гюйгенса Френеля принцип). Ф. з. выбираются так, чтобы удаление каждой след. зоны от точки наблюдения было на половину длины волны больше, чем удаление предыдущей… … Естествознание. Энциклопедический словарь