Разложение в ряд лорана по степеням онлайн. Ряды лорана изолированные особые точки и их классификация

Приборы для определения температуры воздуха и поверхностей ограждений . Для измерения температуры воздуха как в помещениях, так и вне их применяют ртутные, спиртовые и электрические термометры.

Ртутные термометры имеют широкое распространение. Они отличаются большой точностью и позволяют измерять температуру в широких пределах – от –35 до 375С. Спиртовые термометры менее точны, но дают возможность измерять низкие температуры до –70С, что нельзя определить ртутными термометрами (ртуть замерзает при –37,4С).

Термометры градуируются в градусах Цельсия. Градус Цельсия (С) равен одной сотой деления температурной шкалы между точками кипения (100С) и замерзания воды (0С). По значению градус Цельсия равняется градусу Кельвина (К) – современной единице измерения температуры. По системе СИ 0С равен 273,15 К и 100С – 373,15 К.

Максимальный термометр (рис. 1) имеет в капиллярной трубке иглу-указатель.

Ртуть, расширяясь при повышении температуры, продвигает указатель по капилляру. Когда же температура понижается и ртуть сжимается, уходя обратно по капилляру, указатель остается на месте, фиксируя максимальную температуру. При измерении температуры максимальный термометр должен находиться в горизонтальном положении.

Ртутные максимальные термометры в месте перехода резервуара в капилляр иногда имеют сужение. Расширяющаяся при повышении температуры ртуть легко преодолевает сопротивление в сужении и останавливается на определенном уровне, соответствующем наблюдаемой температуре.

При понижении температуры столбик ртути остается в капилляре, так как не может преодолеть сопротивления в суженном месте, и, таким образом, показывает максимальную температуру.

Для возвращения ртути в резервуар термометр перед употреблением сильно встряхивают.

Минимальный термометр бывает только спиртовым. В просвете капилляра термометра имеется указатель – стеклянный штифтик, который перед началом измерения температуры подводят к верхнему уровню спирта. Спирт, расширяясь при повышении температуры, свободно проходит мимо указателя, который остается на месте. При понижении же температуры спирт сжимается и увлекает за собой в силу поверхностного натяжения указатель. Поэтому верхний конец указателя всегда фиксирует минимальную температуру, наблюдавшуюся в период ее измерения.

Электротермометры. Электрические термометры (рис. 2) ос­нованы на полупровод­ни­ках. В этих приборах используют микротер­мисторы, которые изменяют свое электриче­ское сопротивление при незначительных колебаниях температуры. Электротермометры используются для измерения температуры воздуха в помещениях, ограждаю­щих конструкций (стен, потолков, полов), подстилки и т.п.

Термограф М-16 (рис. 3) применяют для непрерывной (по часам и дням) регистрации измерений температуры воздуха. Выпускают его двух типов: суточные с продолжительностью одного оборота барабана часового механизма 26 ч; недельные с продолжительностью одного оборота барабана часового механизма 176 ч.

Термограф состоит из датчика температуры, биметаллической пластинки, передаточного механизма, стрелки с пером, барабана с часовым механизмом и корпуса. Принцип работы его основан на свойстве биметаллической пластинки изменять кривизну в зависимости от температуры воздуха. Изменения изгиба биметаллической пластинки передаются стрелке с пером, которое, поднимаясь и опускаясь, чертит на вращающемся барабане, покрытом специальной диаграммной лентой, температурную кривую (термограмму).

Правила измерения температуры воздуха.

Температуру воздуха в помещениях измеряют в разное время суток в 2-3 точках по вертикали (на уровне лежания, стояния животных и на высоте роста обслуживающего персонала). Измерения по горизонтали берут следующие: середина помещения и два угла по диагонали на расстоянии 3 м от продольных стен и 0,8-1м от торцовых.

Термометр или термограф необходимо располагать так, чтобы на него не действовали прямые солнечные лучи, тепло от нагревательных установок и приборов, охлаждения от окон и вентиляционных каналов.

Продолжительность измерения температуры в каждой точке должна быть не менее 10 мин с момента установки термометра.

ОПРЕДЕЛНИЕ АТМОСФЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ

Атмосферное давление измеряется высотой ртутного столба, уравновешивающего это давление. Нормальным давлением принято считать 760 мм рт. ст., или единицу бар. Один бар соответствует давлению 750,06 мм рт. ст. Бар разделяется на 1000 миллибар (мбар). Отсюда 1 мбар равен 0,75 мм рт. ст., а давление в 1 мм рт. ст. соответствует 1,33 мбар. В последнее время давление выражается в единицах Паскаля (Па). По этой системе нормальное давление равняется 1013 Па.

Приборы. Атмосферное давление измеряют ртутными барометрами и металлическими барометрами-анероидами. Ртутные барометры бывают сифонные и чашечные.

Ртутный сифонный барометр представляет собой вертикальную трубку из белого стекла, изогнутую на 180 и заполненную ртутью (рис. 4). Длинный конец трубки запаян, а короткий конец открыт. Давление атмосферы принимается открытым концом: при повышении его уровень ртути в коротком конце понижается, что соответственно, показывает повышение уровня ртути в запаянном колене.

Чашечный барометр состоит из чугунной чашки с ртутью, закрытая сверху, но сообщающаяся через отверстие с атмосферным воздухом. Стеклянную трубку барометра длиной около 80 см укрепляют нижним открытым концом в крышке чашки. Трубку наполняют ртутью и погружают нижним концом в чашку с ртутью. Трубка защищена латунной оправой, на верхней части которой нанесена шкала. В верхней части трубки под запаянным концом образуется торичеллиева пустота. Изменение атмосферного давления передается на поверхность ртути в чашке, что, в свою очередь, влияет на уровень ртути в трубке: при повышении атмосферного давления возрастает уровень ртути в трубке, и наоборот.

Барометр-анероид (рис.5). Его важнейшая часть – полая тонкостенная металлическая коробка с гофрированным дном и крышкой или тонкостенная плоская трубка, согнутая в виде подковы. Коробка или трубка заполнены разреженным воздухом (до 50-60 мм рт. ст.). В результате колебаний атмосферного давления сдавливаются или выпячиваются стенки коробки или же разгибаются и сгибаются концы трубки. Эти изменения через систему рычагов передаются стрелке, движущейся по циферблату.

Барограф (рис.6) применяют для длительных наблюдений за изменениями атмосферного давления и их записи. Главнейшая его часть, как и в барометрах-анероидах, - тонкостенная, металлическая коробка с разреженным воздухом, воспринимающая изменения давления воздуха. Через систему рычагов изменения объема коробки передаются на стрелку с писчиком. На разграфленной ленте барабана, так же как и у термографа, вычерчивается кривая колебаний атмосферного давления за сутки или за неделю.

Занятие 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАЖНОСТИ

ВОЗДУХА

Для суждения о влажности воздуха в помещениях и вне их определяют их абсолютную влажность, относительную влажность, дефицит насыщения и точку росы.

Абсолютная влажность – это количество водяных паров в 1м 3 воздуха при нормальных показателях температуры и атмосферного давления (Т=0С, В=760 мм рт.ст.). Обозначается буквой А , измеряется в мм рт.ст.

Максимальная влажность – количество водяных паров, насыщающих до предела 1м 3 воздуха при данной температуре и атмосферном давлении. Обозначается буквой Е , измеряется в мм рт.ст.

Относительная влажность – отношение абсолютной влажности к максимальной влажности, выраженное в %. Обозначается буквой R .

Дефицит насыщения – это разница между максимальной и абсолютной влажностью. Обозначается буквой D , измеряется в мм рт.ст.

Точка росы – это максимальная температура при которой водяные пары насыщаются до предела и переходят в воду. Обозначается – Тр .

Абсолютную влажность воздуха определяют психрометрами, а относительную – гигрометрами и гигрографами.

Наиболее часто в практике исследований пользуются статиче­скими (рис.7) или динамическими (аспирационными) психрометрами (рис.8).

Статический психрометр Августа состоит из двух одинако­вых термометров (ртутные, в новых моделях спиртовые), укрепленных в одном штативе на расстоянии 4-5 см друг от друга. Резервуар одного из термометров (влажного) обернут кусочком батиста; конец обертки свернут жгутом и погружен в стаканчик (в новых моделях – в расширен­ный конец изогнутой трубки-пробирки). Уровень воды в стаканчике должен находиться на расстоянии 2-3 см от нижнего конца резервуара. Стаканчик (трубку) наполняют дистиллированной водой. В силу капиллярности материал постоянно смачивается, и с шари­ка термометра непрерывно испаряется вода. Это вызывает потерю тепла пропорционально скорости испарения. В связи с этим и показания температуры на влажном термометре ниже, чем на рядом расположенном сухом. Разность показаний обоих термометров и берется за основу расчетов.

Аспирационный психрометр Ассмана дает весьма точные показания. Он состоит, так же как и статический психрометр, из двух одинаковых термометров. Резервуар каждого из них окружен двумя металлическими гильзами для защиты от тепловой радиации. Гильзы переходят в общую трубку с небольшим аспирационным вентилятором у верхнего конца.Вентилятор приводится в движение пружиной, которую заводят ключом.

Ход определения и вычисление результатов. При опреде­лении абсолютной влажности статическим психрометром прибор устанавливают в точке исследования, обертку влажного термометра погружают в стаканчик с водой. Оставляют в покое прибор на 10-15 мин, следя за тем, чтобы на прибор не влияли источники тепла (лампы, печи и пр.), а также случайные движения воздуха (ходьба, открывание дверей). После указанного срока записывают показания сухого и влажного термометров с точностью до 0,1°С. По разнице показаний термометров определяют относительную влажность в % по таблице, имеющейся на приборе, если ее нет, то по приложению № 1.

Р а с ч е т. Абсолютную влажность воздуха по показаниям сухого и влажного термометров вычисляют по формуле Реньо:

,

где А – абсолютная влажность, выражаемая напряжением паров, мм рт.ст.; Е – максимальная упругость водяных паров при температуре влаж­ного термометра (эту величину находят по таблице (Приложение № 2), мм рт.ст.; а – психрометрический коэффициент, зависящий от скорости движения воздуха (см. ниже); Т 1 – температура в момент отсчета, показываемая сухим термометром, ° С; Т 2 – температура, показываемая влажным термометром, ° С; В – барометрическое давление при наблюдении, мм рт.ст.

П р и м е р вычисления абсолютной влажности воздуха. Определение проводили статическим (стационарным) психрометром при следующих данных: показания сухого термометра 12,5°С, показания влажного термометра 11,2° С, барометрическое давление 755 мм рт. ст., психромет­рический коэффициент 0,0011, максимальная упругость пара при 11,2° С (по приложению № 2) 9,92 мм рт. ст.

Вводим в приведенную выше формулу эти величины:

А = 9,92 – 0,0011 (12,5 – 11,2) 755 = 8.84 мм рт. ст.

Зная эту величину, можно вычислить ее процентное отношение к максимальной влажности воздуха при данной температуре (температура сухого термометра), т. е. относительную влажность воздуха. Для этого пользуются формулой:

,

где R – относительная влажность воздуха, %; А – найденная абсолютная влажность воздуха, мм рт. ст.; Е – максимальная упругость водяных паров, мм рт. ст. при температуре сухого термометра (температура воздуха в момент наблюдений). Ее находят по таблице (Приложение № 2); в нашем примере она равна 10,8 мм рт. ст.

Подставляем найденные величины в формулу:

,

Правила работы с аспирационным психрометром. Для смачивания обертки влажного термометра этого психро­метра применяют резиновую грушу с пипеткой. Грушей поднимают воду в пипетке на 2/3 ее длины и задерживают на этом уровне при помощи зажима. Пипетку вводят полностью в гильзу влажного термометра и смачивают обертку резервуара.

Показания термометра отсчитывают летом через 4-5 мин, а зимой через 15 мин после начала работы вентилятора. В последнем случае пружинный завод вентилятора приходится заводить дважды.

Абсолютную влажность при пользовании этим психрометром вычис­ляют по формуле:

,

где А – абсолютная влажность, мм рт. ст.; Е – максимальное напряже­ние водяных паров при температуре влажного термометра; 0,5 – постоянная величина (психрометрический коэффициент); Т – температура сухого термометра; Т – температура влажного термометра; В – баро­метрическое давление в момент исследования; 755 – среднее барометрическое давление.

П р и м е р. Абсолютная влажность воздуха при Т=15 о С, Т1 =12,5° С. В =758 мм и Е (находят по приложению № 2) = 10,8

6 – диаграммная лента

мм

Относительная влажность воздуха в нашем примере равна:

,

Приборы для определения относительной влажности воздуха. Для определения относительной влажности возду­ха применяют гигрометры – приборы, действие которых основано на способности обезжиренного в эфире челове­ческого волоса удлиняться при повышении относительной влажности воздуха и укорачиваться при ее понижении.

Гигрометр волосяной в круглой оправе М-68 (рис.9) представляет собой металлический корпус со шкалой с делениями в процентах относительной влажности воздуха. Внутри корпуса имеется датчик влажности и механизм для закрепления и перемещения стрелки по шкале. Установка стрелки на заданное деление производится регулировочным винтом. Диапазон измерения относительной влажности в пределах от30 до 100 %. Прибор можно использовать для работы при температуре от –30 до 45° С.

Гигрограф М-21 (метеорологиче­ский) применяют для непрерывной записи изменения относительной влажности воз­духа от 30 до 100 % при температуре от –30 до 45° С. Приборы выпускают двух ­ти­пов: суточные и недельные с продолжи­тельностью одного оборота барабана часо­вого механизма 26 и 176 ч.

Гигрограф (рис.10) состоит из дат­чика (1) и пучка обезжиренных человече­ских волос, закрепленных концами во втулках

металлического кронштейна и за­щищенных от повреждений ограждением; передаточного механизма (2), стрелки с пером (3), барабана с часовым механизмом (4) и корпуса (5). Перед работой укрепляют на барабане диаграммную ленту, заводят часовой механизм и заполняют перо специальными чернилами. На диаграммной ленте записывают дату и время начала и конца регистра­ции. Прибор для записи относительной влажности ставят на опреде­ленную высоту строго горизонтально.

Рис. 10. Гигрограф типа М-21.

1 – корпус, 2 – датчик-пучок обезжиренных волос,

3 – коррекционный винт, 4 – стрелка с пером,

5 – барабан с часовым механизмом,

6 – диаграммная лента

Занятие 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ВОЗДУХА

Приборы для определения скорости движения воздуха.

Скорость движения воздуха измеряют в животноводческих помещениях, при исследовании работы вентиляции и в открытой атмосфере. Выражают ее в метрах в секунду (м/с). Используют для измерения анемометры и кататермометры. Анемометрами изме­ряют большие скорости движения воздуха, а кататермометрами – скорости меньше 0,5 м/с.

Анемометры различают ди­намические и статические. Первы­ми определяют скорость движе­ния воздуха по числу оборотов, вторыми – по отклонению пла­стинки или шара.

Динамические анемометры бывают двух типов: крыльчатые типа АСО-3 и чашечные типа МС-13 (рис.11 и рис.12). Принцип дей­ствия обоих анемометров заключается в том, что воздух при движении давит на легкие подвижные крылья или чашечки прибора, которые приходят во вращательное движение. Это движение через систему зубчатых колес передается стрелке, движущейся по циферблату с делениями.

Пределы измерений скорости движения воздуха у крыльчатого анемометра от 0,3 до 5 м/с, а у чашечного анемометра – от 1 до 20 м/с. Перед работой анемометра включают с помощью арретира передаточный механизм и записывают начальное показание счетчика на шкалах. Прибор устанавливают в воздушном потоке ветроприемником навстречу потоку и через 10-15с включают одновременно механизм прибора и секундомер. Через 1-2 мин механизм анемометра и секундомер выключают, записы­вают показания счетчика и время его работы в секундах. По разности конечного и начального показаний счетчика, деленной на время в секундах, определяют скорость движения воздуха в м/с.

Статический анемометр с флюгером используют для определения движения воздуха в свободной атмосфере (силы ветра) по отклонению от вертикального положения пластинки прибора. Угол отклонения отсчитывают по дугообразной шкале и по соответствующим таблицам определяют скорость движения воздуха.

Ка т а т е р м о м е т р ы – приборы для определения ско­рости движения воздуха от 0,04 до 15 м/с. Кататермометры могут иметь цилиндрический или ша­ровой резервуар (рис.13). Поверхность резервуара запол­нена окрашенным спиртом. Шкала прибора разделена на градусы от 35 до 38. Величина потери тепла с 1 см 2 поверхности резервуара прибора за период охлаждения его от 38 до 35°С в милликалориях называетсяфактором кататермометра (F ). Он имеет индивидуальное значение для каждого прибора и отмечается на обратной стороне шкалы прибора.

Деление величины фактора на время охлаждения прибора от 38 до 35°С даст величину теплоотдачи с 1 см 2 /с в милликалориях. Эту величину называют индексом и обозначают буквойН .

Правила работы с анемометром и кататермометром. При работе с анемометром необходимо соблюдать следующие правила:

ось крыльчатого анемометра при измерении скорости должна совпадать с направлением движения воздуха, а чашечного – находиться в вертикальном положении;

перед измерением скорости движения воздуха в избранной точке записывают показания стрелок прибора, помещают прибор с заторможенной стрелкой на место и пускают анемометр на холостой ход на 1-2 мин, пока крылья или чашечки не начнут равномерно вращаться. После этого нажатием рычажка включают счетчик и одновременно отмечают время (в секундах). По истечении 100с выключают счетчик анемометра и записывают показания стрелок; разность между вторым и первым показаниями стрелок счетчика делят на число секунд (100) и находят скорость движения воздуха в м/с;

для измерения скорости движения воздуха, превышающей 1 м/с, в свободной атмосфере рекомендуется применять чашечный анемометр, а для измерения скорости движения воздуха в вентиляционных каналах – крыльчатый.

При работе с кататермометром необходимо соблюдать следующие правила:

перед исследованием погружают резервуар сухого кататермометра в воду, нагретую до 60-80°С, и ждут пока спирт не заполнит 1/3 верхнего цилиндрического расширения. После этого прибор вынимают из воды, насухо вытирают резервуар полотенцем и помещают неподвижно в точке исследования;

по секундомеру следят за временем охлаждения прибора, включая секундомер в момент, когда столбик спирта проходит через 38°С, и выключают, когда он достигает уровня 35°С.

полученную величину времени охлаждения записывают и повторяют измерения 5 раз. Данные первого измерения, как наименее точного, отбрасывают и из четырех измерений выводят среднеарифметическую величину времени охлаждения.

Вычисление результатов. Зная величинуН и температуру воздуха, определяют скорость движения воздуха в момент измерения, пользуясь следующими формулами:

если скорость движения меньше 1 м/с, то пользуются формулой:

.

где v – искомая скорость движения воздуха м/с; Н – величина охлаждения кататермометра (индекс); Q – средняя температура кататермометра 36,5°С минус температура воздуха помещения в момент наблюдения; 0,2 и 0,4 – эмпирические коэффициенты;

при скорости движения воздуха больше 1 м/с пользуются формулой:

.

Обозначения в формуле те же, что и в первой; 0,13 и 0,47 – эмпирические коэффициенты.

П р и м е р. Фактор кататермометра 454, время охлаждения 62с, температура воздуха в момент исследования 12°С. Индекс равняется 454 / 62=7,32, величина Н / Q = 0,298, или округленно 0,3.

Подставив эти величины в формулу для скоростей меньше 1 м/с, получаем:

м/с.

Для упрощения расчетов пользуются приложением 3, в котором по величине Н / Q находят скорость движения воздуха.

Занятие 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ И ИСКУССТВЕННОЙ ОСВЕЩЕННОСТИ.

Определение естественной и искусственной освещенности.

В проектной и строительной практике животноводческих и подсобных помещений применяют два вида нормирования естественной освещенности – геометрическое и светотехническое.

Геометрическое нормирование устанавливает отношение площади световых предметов (остекления) к площади пола освещаемого помещения, или световой коэффициент (СК).

П р и м е р. Площадь пола в помещении 1080 м 2 . Суммарная площадь стекол 90 м 2 . 1080:90=12. В данном случае световой коэффициент (СК) равен 1:12.

Этот способ нормирования и контроля освещенности весьма прост, но неточен. Геометрический способ нормирования освещенно­сти не учитывает многие важные моменты: световой климат местности, отраженный свет от потолка, ориентацию окон по сторонам света, затемняющее влияние противостоящих помещений и света, конструктивные особенности здания.

Хорошо известно, что установление равновесия может происходить в самые различные сроки. Температура брошенного в воду раскаленного куска железа и температура воды уравняются очень быстро. Напротив, температуры воздуха и нагретого кирпича уравниваются медленно. В течение мгновений продиффундирует азот в кислороде, многими днями длится выравнивание концентраций раствора медного купороса. Также и выравнивание скоростей может

происходить в резко отличные времена, смотря по тому, идет ли речь о газе или о вязкой жидкости.

Универсального ответа (общей формулы) в отношении времен выравнивания дать нельзя, так как геометрия опыта сказывается на этих временах. Остывающее тело может иметь форму цилиндра или пластинки; диффундирующий газ в начальный момент может находиться внутри маленького сферического объема или может быть распределен вдоль какой-нибудь поверхности; внутреннее трение может наблюдаться в трубах разного сечения или в открытых водоемах. Подобные обстоятельства должны каждый раз учитываться особо, и расчет точных значений времен выравнивания является трудной математической задачей. Однако можно отвлечься от геометрических частностей и постараться решить вопрос в общей форме, если отказаться от цели получить точную формулу и удовлетвориться нахождением лишь пропорциональностей между физическими величинами. На этом пути физику помогают соображения о размерностях физических величин, которые должны быть связаны межд) собой.

Рассмотрим, например, явление диффузии. Ясно, что время выравнивания концентрации зависит, прежде всего, от размеров области, в которой происходит диффузия (характерная длина и от свойств диффундирующих веществ (характеризуемых коэффициентом диффузии D). Уравнение диффузии имеет вид Напишем для него уравнение размерностей:

Видим, что т. е. время выравнивания и не зависит от концентрации.

Отсюда мы имеем право сделать такое заключение. Любое строгое решение задачи о времени выравнивания концентрации при диффузионных процессах всегда приведет нас к уравнению

где постоянная безразмерная величина, зависящая от геометрических условий задачи. Величина от квадрата которой зависит скорость выравнивания концентрации, имеет смысл геометрического размера области, в которой происходит выравнивание. Значит, если концентрация в пределах одного сантиметра выравнивается, скажем, за 10 с то в пределах двух сантиметров она выравнивается за 40 с.

Таким же точно образом можно решить вопрос о выравнивании температуры. В основной закон этого явления входят количество тепла, коэффициент теплопроводности, температура и расстояние. Но приращение количества тепла в единице объема может быть пред ставлено в виде

Удельная теплоемкость при постоянном давлении, плотность (таким образом, есть теплоемкость единицы объема). Поэтому между собой должны быть связаны следующие величины: температура, длина, время, плотность, теплоемкость и теплопроводность. Можно без труда проверить, что время не может зависеть от температуры и выражается через остальные величины единственным образом:

Значит, время выравнивания температуры выражается формулой

где через мы обозначили комбинацию констант - Величина носит название температуропроводности. Введение этого коэффициента вполне оправдано желанием сделать аналогичными формулы выравнивания концентрации и температуры. Коэффициенты диффузии и температуропроводности имеют одинаковую размерность и вполне аналогичны в рассмотренных двух явлениях выравнивания.

Мы видим, чем определяется остывание тела. Процесс идет тем медленнее, чем больше плотность и теплоемкость и чем меньше коэффициент теплопроводности.

Ряды Тейлора служат эффективным средством для изучения функций, аналитических в круге zol Для исследования функций, аналитических в кольцевой области, оказывается возможным построение разложений по положительным и отрицательным степеням (z - zq) вида обобщающим тейлоровские разложения. Ряд (1), понимаемый как сумма двух рядов называется рядом Лорана. Ясно, что областью сходимости ряда (1) является общая часть областей сходимости каждого из рядов (2). Найдем ее. Областью сходимости первого ряда является круг радиус которого определяется по формуле Коши-Адамара Внутри круга сходимости ряд (3) сходится к аналитической функции, причем в любом круге меньшего радиуса, он сходится абсолютно и равномерно. Второй ряд представляет собой степенной ряд относительно переменного Ряд (5) сходится внутри своего круга сходимости к аналитической функции комплексного переменного m-*oo причем в любом круге меньшего радиуса он сходится абсолютно и равномерно, ^го означает, что областью сходимости ряда (4) является внешность круга - Если то существует общая область сходимости рядов (3) и (4) - круговое кольцо в котором ряд (1) сходится к аналитической функции. При этом в любом кольце, он сходится абсолютно и равномерно. Пример 1. Определить область сходимости рада Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация М Область сходи мости первого ряда - внешность круга а область с ходи мости второго ряда - внутренность круга Тем самым, данный ряд сходится в колы»о Теорема 15. Любую функцию f(z), однозначную и аполитичную в круговом котьце можно представить в этом кольце в виде суммы сходящегося ряда коэффициенты Сп которого определены однозначно и вычисляются по формулам где 7р - окружность радиуса м Зафиксируем внутри кольца Я произвольную точку z. Построим окружности центрами в точке го, радиусы которых удовлетворяют неравенствам и рассмотрим новое кольцо По интегральной теореме Коши для многосвязной области имеем Преобразуем отдельно каждый из интегралов в сумме (8). Для всех точек £ по окружности 7д* выполняется соотношение де суммы равномерно сходящегося ряда 1 1 Поэтому дробь ^ можно представить в ви- /" / Умножая обе части на непрерывную функцию (О и проводя почленное интегрирование вдоль окружности, получим, что Преобразование второго интеграла проведем несколько по-иному. Для всех точек £ на окружности ir> выполнено соотношение Поэтому дробь ^ можно представить в виде суммы равномерно сходящегося ряда Умножая обе части на непрерывную функцию) и интегрируя почленно вдоль окружности 7/, получи м, что Заметим, что подынтегральные функции в формулах (10) и (12) являются аналитическими функциями в круговом кольце. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменятся, если заменить окружности 7/г и 7г/ любой окружностью. Это позволяет объединить формулы (10) и (12), Заменяя интегралы в правой части формулы (8) их выражениями (9) и (11) соответственно, получим нужное разложение Так как z - произвольная точка кольца, то отсюда следует, что ряд (14) сходится к функции f(z) всюду в этом кольце, причем в любом кольце ряд сходится к этой функции абсолютно и равномерно. Докажем теперь, что разложение вида (6) единственно. Предположим, что имеет место еще одно разложение Тогда всюду внутри кольца R будем иметь На окружности ряды (15) сходятся равномерно. Умножим обе части равенства (где т - фиксированное целое число, и проинтегрируем оба ряда почленно. В результате получим в левой части, а в правой - Сщ. Таким образом, (4, = Ст. Так как m - произвольное число, то последнее равенство доказывает единственность разложения. Ряд (6), коэффициенты которого вычисляются поформулам (7), называется рядом Лорана функции f(z) в кольце Совокупность членов этого ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, а с отрицательными - его главной частью. Формулы (7) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяются редко, ибо, как правило, требуют громоздких вычислений. Обычно, если это возможно, используются готовые тейлоровские разложения элементарных функций. На основании единственности разложения любой законный прием приводит к одному и тому же результату. Пример 2. Рассмотреть разложения в ряд Лорана функции различных областях, приняв Фуисция /(г) имеет две особые точки: . Следовательно, имеется три кольцевых области, с центром в точке го = 0. в каждой из которых функция /(г) является аналитической: а) круг кольцо внешность круга (рис.27). Найдем лорановские разложения функции /(z) в каждой из этих областей. Представим /(z) в виде суммы элементарных дробей а) Круг Преобразуем соотношение (16) следующим обра- Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получим Подставим найденные разложения в формулу (17): Это разложение является рядом Тейлора функции /(z). б) Кольцо для функции -г остается сходящимся в этом кольце, так как Ряд (19) для функции j^j при |z| > 1 расходится. Поэтому преобразуем функцию /(z) следующим образом: вновь применяя формулу (19), получим, что Этот ряд сходится для. Подставляя разложения (18) и (21) в соотношение (20), получим в) Внешность круга для функции -г при |z| > 2 расходится, а ряд (21) для функ- Представим функцию /(z) в следующем виде: / Используя формулы (18) и (19), получим ИЛИ 1 Эгот пример показывает, что для одной и той же функции f(z) лорановское разложение, вообще говоря, имеет различный вид для разных колец. Пример 3. Найти разложение 8 ряд Лорана функции Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация а кольцевой области А Воспользуемся представлением функции f(z) в следующем виде: и преобразуем второе слагаемое Используя формулу для суммы членов геометричесхой прогрессии, получим Подставляя найденные выражения в формулу (22), имеем Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окреслюсти тонки zq = 0. Для любою комплексного имеем Положим Это разложение справедливо для любой точки z Ф 0. В данном случае кольцевая область представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой z - 0. Эту область можно определить следующим соотношением: Данная функция является аналитической в области Из формул (13) для коэффициентов ряда Лорана такими же рассуждениями, что и в предыдущем параграфе, можно получить неравенства Kouiw. если функция f(z) ограничена на окружности, где М - постоянная),то Изолированные особые точки Точка zo называется изолированной особой точкой функции / (z), если существует кольцевая окрестность точки (это множество иногда называют также проколотой окрестностью точки 2о), в которой функция f(z) однозначна и аналитична. В самой точке zo функция либо не определена, либо не является однозначной и аналитичной. В зависимости от поведения функции /(г) при приближении к точке zo различаются три типа особых точек. Изолированная особая точка называется: 1) устранимой, если существует конечный 2) пмюсач, если 3) существенно особой точкой, если функция f(z) не имеет предела при Тип изолированной особой точки тесно связан с характером лорановского разложения функции выколотым центром го. Теорема 16. Изолированная особая точка z0 функции f(z) является устранимой особой точкой в том и только в тач случае, когда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки zo не содержит главной части, т. е. имеет вид Пусть zo - устранимая особая точка. Тогда существует конечный, следо- вательно, функция f(z) ограничена впрокологой окрестности точки го, Положим В силу неравенств Коши Так как р моямо выбрать скольугодно малым, то все коэффициенты при отрицательных степенях (z - 20) равны нулю: Обратно, пусть лорановское разложение функции /(г) в окрестности точки zq содержит только правильную часть, т. е. имеет вид (23) и, следовательно, является тейлоровским. Нетрудно видеть, что при z -* z0 У фуниции /(г) существует предельное значение: Теорема 17. Изолированная особая точка zq функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда функция J(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки zq, Згмечаи не. Пусть го - устранимая особая точка функции /(г). Полагая мы получим, чтофункция /(г) аналитична в некотором к руге с центром в точке го. Это определяет название точки - устранимая. Теорема 18. Изолированная особая точка zq функции f(z) является полюсом в том и только в том случае, когда главная частьлорановскогоразложения функции f(z) в окрестности точки содержит конечное (и положительное) числоотличных от нуля членов, т. е. имеет вид 4 Пусть z0 - полюс. Так как то существует проколотая окрестность точки z0, в которой функция f(z) аналитична и отлична от нуля. Тогда в этой окрестности определена аналитическая функция причем Следовательно, точка zq является устранимой особой точкой (нулем) функции или где h(z) - аналитическая функция, h(z0) Ф 0. Тогда аналитична и h(zo) ф 0, то функция щ аналитична в окрестности точки zq, и следовательно, откуда получаем, что Предположим теперь, что функция f(z) имеет в проколотой окрестности точки zо разложение вида (24). Это означает, что в этой окрестности функция f(z) аналитична вместе с функцией. Для функции g(z) справедливо разложение из которого видно, что zq - устранимая особая точка функции g(z) и существует Тогда функция при 0 стремится - полюс функции Имеет место еще один простой факт. Точка Zq - полюс функции f{z) в том и только в том случае, когда функцию g(z) = ущ можно доопределить до аналитической функции в окрестности точки zq, положив g(z0) = 0. Порядком полюса функции f(z) называется порядок нуля функции jfa. Из теорем 16 и 18 вытекает следующее утверждение. Теорема 19. Изолированная особая тонка является существенно особой в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения в проколотой окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов. Пример 5. Особой точкой функции является zo = 0. Имеем Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация Следовательно, zo = О - устранимая особая точка. Разложение функции /(z) в ряд Лорана в окрестности нулевой точки содержит только правильную часть: Пример7. /(г) = Особая точка функции f(z) есть zq = 0. Рассмотрим поведение этой функции на действительной и мнимой осях: на действительной оси при х 0, на мнимой оси Следовательно, ни конечного, ни бесконечного предела f(z) при z -* 0 не существ ует. Значит, точка го = 0 - существенно особая точка функции f(z). Найдем лорановское разложение функции f(z) в окрестности нулевой точки. Для любого комплексного С имеем Положим. Тогда Лорановское разложение содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями z.

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.

f(x)=

в точке x 0 = Количество элементов ряда 3 4 5 6 7

Использовать разложение элементарных функций e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Правила ввода функций :

Если для некоторого значения х r n →0 при n →∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции


Логарифмические функции
, -1