Разложение cos в ряд лорана. Разложение функции в ряд тейлора, маклорена, лорана. Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд
Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n
– так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.
Правила ввода функций :
Если для некоторого значения х
r n
→0 при n
→∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора
:
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.
При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена
:
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции
Логарифмические функции
, -1
Биномиальные ряды
.
Пример №1
. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=
2 x
.
Решение
. Найдем значения функции и ее производных при х
=0
f(x)
= 2 x
, f(0)
= 2 0
=1;
f"(x)
= 2 x
ln2, f"(0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x)
= 2 x
ln 2 2, f""(0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f (n) (x)
= 2 x
ln n
2, f (n) (0)
= 2 0
ln n
2= ln n
2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x
<+∞.
Пример №2
. Написать ряд Тейлора по степеням (х
+4) для функции f(x)=
e x
.
Решение
. Находим производные функции e x
и их значения в точке х
=-4.
f(x)
= е x
, f(-4)
= е -4
;
f"(x)
= е x
, f"(-4)
= е -4
;
f""(x)
= е x
, f""(-4)
= е -4
;
…
f (n) (x)
= е x
, f (n) ( -4)
= е -4
.
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:
Данное разложение также справедливо для -∞<x
<+∞.
Пример №3
. Разложить функцию f(x)
=lnx
в ряд по степеням (х-
1),
(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х
=1).
Решение
. Находим производные данной функции.
f(x)=lnx , , , , 
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(-1) n-1 (n-1)!
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1 . Действительно,
Ряд сходится, если ½х-
1½<1, т.е. при 0<x
<2. При х
=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].
Пример №4
. Разложить в степенной ряд функцию .
Пример №5
. Разложить в ряд Маклорена функцию Замечание
.
Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось. Пример №5а
. Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Пример №6
. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Пример №7
. Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции ln(x+2) .
Пример №8
. Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.
Пример №1
. Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Пример №2
. Вычислить с точностью до 0,0001.
Пример №3
. Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 sin (x) x с точностью до 10 -5 .
Пример №4
. Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 e x 2 с точностью до 0,001.
Разложение функции в ряд Тейлора, Маклорена и Лорана на сайт для тренировки практических навыков. Это разложение функции в ряд дает представление математикам оценить приближенное значение функции в некоторой точки области ее определения. Намного проще вычислить такое значение функции, по сравнению с применением таблицы Бредиса, так неактуальной в век вычислительной техники. В ряд Тейлора разложить функцию означает вычислить коэффициенты перед линейными функциями этого ряда и записать это в правильном виде. Путают студенты эти два ряда, не понимая, что является общим случаем, а что частным случаем второго. Напоминаем раз и навсегда, ряд Маклорена - частный случай Тейлоровского ряда, то есть это и есть ряд Тейлора, но в точке x = 0. Все краткие записи разложения известных функций, таких как e^x, Sin(x), Cos(x) и другие, это и есть разложения в ряд Тейлора, но в точке 0 для аргумента. Для функций комплексного аргумента ряд Лорана является наиболее частой задачей в ТФКП, так как представляет двусторонний бесконечный ряд. Он и является суммой двух рядов. Мы предлагаем вам посмотреть пример разложения прямо на сайте сайт, это сделать очень просто, нажав на "Пример" с любым номером, а затем кнопку "Решение". Именно такому разложению функции в ряд сопоставлен мажорирующий ряд, ограничивающий функцию исходную в некоторой области по оси ординат, если переменная принадлежит области абсцисс. Векторному анализу поставляется в сравнение другая интересная дисциплина в математике. Поскольку исследовать нужно каждое слагаемое, то необходимо достаточно много времени на процесс. Всякому ряду Тейлора можно сопоставить ряд Маклорена, заменив x0 на нуль, а вот по ряду Маклорена порой не очевидно представление ряда Тейлора обратно. Как бы это и не требуется делать в чистом виде, но интересно для общего саморазвития. Всякому ряду Лорана соответствует двусторонний бесконечный степенной ряд по целым степеням z-a, другими словами ряд вида того же Тейлора, но немного отличающегося вычислением коэффициентов. Про область сходимости ряда Лорана расскажем чуть позже, после нескольких теоретических выкладок. Как и в прошлом веке, поэтапного разложения функции в ряд вряд ли можно достичь только лишь приведением слагаемых к общему знаменателю, так как функции в знаменателях нелинейные. Приближенное вычисление функционального значения требует постановка задач. Задумайтесь над тем, что когда аргумент ряда Тейлора есть линейная переменная, то разложение происходит в несколько действий, но совсем другая картина, когда в качестве аргумента раскладываемой функции выступает сложная или нелинейная функция, тогда очевиден процесс представления такой функции в степенной ряд, поскольку, таким образом, легко вычислить, пусть и приближенное, но значение в любой точке области определения, с минимальной погрешностью, мало влияющей на дальнейшие расчеты. Это касается и ряда Маклорена. когда необходимо вычислить функция в нулевой точке. Однако сам ряд Лорана здесь представлен разложением на плоскости с мнимыми единицами. Также не без успеха будет правильное решение задачи в ходе общего процесса. В математике такого подхода не знают, но он объективно существует. В результате вы можете прийти к выводу так называемых поточечных подмножеств, и в разложении функции в ряд нужно применять известные для этого процесса методы, таких как применение теории производных. Лишний раз убеждаемся в правоте учителя, который сделал свои предположения на счет итогов пост вычислительных выкладок. Давайте отметим, что ряд Тейлора, полученный по всем канонам математики, существует и определен на всей числовой оси, однако, уважаемые пользователи сервиса сайт, не забывайте вид исходной функции, ведь может получиться так, что изначально необходимо установит область определения функции, то есть выписать и исключить из дальнейших рассмотрений те точки, при которых функция не определена в области действительных чисел. Так сказать это покажет вашу расторопность при решении задачи.
Не исключением высказанного будет и построение ряда Маклорена с нулевым значением аргумента. Процесс нахождения области определения функции никто при этом не отменял, и вы обязаны подойти со всей серьезностью к этому математическому действию. В случае содержания рядом Лорана главной части, параметр "a" будет называться изолированной особой точкой, и ряд Лорана будет разложен в кольце - это пересечение областей сходимости его частей, отсюда будет следовать соответствующая теорема. Но не все так сложно как может показаться на первый взгляд неопытному студенту. Изучив как раз ряд Тейлора, можно с легкостью понять ряд Лорана - обобщенный случай на расширение пространства чисел. Любое разложение функции в ряд можно производить только в точке области определения функции. Следует учитывать свойства таких функций, например, как периодичность или бесконечная дифференцируемость. Также предлагаем вам воспользоваться таблицей готовых разложений в ряд Тейлора элементарных функций, поскольку одна функция может быть представлена до десятков отличных от друг друга степенных рядов, что можно видеть из применения нашего калькулятора онлайн. Онлайн ряд Маклорена проще простого определить, если воспользоваться уникальным сервисом сайт, вам достаточно только ввести правильную записанную функцию и представленный ответ получите в считанные секунды, он будет гарантированно точным и в стандартно записанном виде. Можете переписать результат сразу в чистовик на сдачу преподавателю. Правильно бы сначала определить аналитичность рассматриваемой функции в кольцах, а затем однозначно утверждать, что она разложима в ряд Лорана во всех таких кольцах. Важен момент чтобы не упустить из вида содержащие отрицательных степеней членов ряда Лорана. На этом сосредоточьтесь как можно сильнее. Применяйте с пользой теорему Лорана о разложении функции в ряд по целым степеням. Пусть функция
- аналитическая в односвязной области Доказательство.
Точка Функция
Рядом Лорана
называется ряд
Второе слагаемое
представляет собой степенной ряд и, как
всякий степенной ряд, сходится в круге
Первое слагаемое
называется главной частью ряда Лорана.
Делая в нем замену это – степенной ряд, сходящийся
в некотором круге
Функция
По теореме Коши для многосвязной
области По интегральной формуле Коши
Рассмотрим отдельно каждое
слагаемое. 1) В первом
слагаемом
повторим все выкладки из
доказательства теоремы Тейлора, считая Так как
,
то полученный ряд мажорируется сходящейся
бесконечно убывающей геометрической
прогрессией Функция
Умножим полученный
ряд на непрерывную ограниченную функцию
2) Рассмотрим
второе слагаемое, полагая
Это справедливо, так как здесь Функция
Умножим полученный
ряд на непрерывную ограниченную функцию
Этот ряд
мажорируется сходящейся бесконечно
убывающей геометрической прогрессией
Складывая
полученные разложения для двух слагаемых,
получим разложение функции в ряд Лорана Для коэффициентов
ряда Лорана аналогично выводятся
неравенства Коши
Ряды Тейлора служат эффективным средством для изучения функций, аналитических в круге zol Для исследования функций, аналитических в кольцевой области,
оказывается возможным построение разложений по положительным и отрицательным степеням (z - zq) вида
обобщающим тейлоровские разложения.
Ряд (1), понимаемый как сумма двух рядов
называется рядом Лорана.
Ясно, что областью сходимости ряда (1) является общая часть областей сходимости каждого из рядов (2). Найдем ее.
Областью сходимости первого ряда
является круг радиус которого определяется по формуле Коши-Адамара
Внутри круга сходимости ряд (3) сходится к аналитической функции, причем в любом круге меньшего радиуса, он сходится абсолютно и равномерно. Второй ряд
представляет собой степенной ряд относительно переменного
Ряд (5) сходится внутри своего круга сходимости к аналитической функции комплексного переменного
m-*oo
причем в любом круге меньшего радиуса он сходится абсолютно и равномерно, ^го означает, что областью сходимости ряда (4) является внешность круга -
Если то существует общая область сходимости рядов (3) и (4) - круговое кольцо
в котором ряд (1) сходится к аналитической функции. При этом в любом кольце, он сходится абсолютно и равномерно. Пример 1. Определить область сходимости рада
Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация
М Область сходи мости первого ряда - внешность круга а область с ходи мости второго ряда - внутренность круга Тем самым, данный ряд сходится в колы»о
Теорема 15. Любую функцию f(z), однозначную и аполитичную в круговом котьце
можно представить в этом кольце в виде суммы сходящегося ряда
коэффициенты Сп которого определены однозначно и вычисляются по формулам
где 7р - окружность радиуса
м Зафиксируем внутри кольца Я произвольную точку z. Построим окружности центрами в точке го, радиусы которых удовлетворяют неравенствам
и рассмотрим новое кольцо
По интегральной теореме Коши для многосвязной области имеем
Преобразуем отдельно каждый из интегралов в сумме (8). Для всех точек £ по окружности 7д* выполняется соотношение
де суммы равномерно сходящегося ряда 1 1
Поэтому дробь ^ можно представить в ви- /" /
Умножая обе части на непрерывную функцию (О и проводя почленное интегрирование вдоль окружности, получим, что
Преобразование второго интеграла проведем несколько по-иному. Для всех точек £ на окружности ir> выполнено соотношение
Поэтому дробь ^ можно представить в виде суммы равномерно сходящегося ряда
Умножая обе части на непрерывную функцию) и интегрируя почленно вдоль окружности 7/, получи м, что
Заметим, что подынтегральные функции в формулах (10) и (12) являются аналитическими функциями в круговом кольце. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменятся, если заменить окружности 7/г и 7г/ любой окружностью. Это позволяет объединить формулы (10) и (12),
Заменяя интегралы в правой части формулы (8) их выражениями (9) и (11) соответственно, получим нужное разложение
Так как z - произвольная точка кольца, то отсюда следует, что ряд (14) сходится к функции f(z) всюду в этом кольце, причем в любом кольце ряд сходится к этой функции абсолютно и равномерно.
Докажем теперь, что разложение вида (6) единственно. Предположим, что имеет место еще одно разложение
Тогда всюду внутри кольца R будем иметь
На окружности ряды (15) сходятся равномерно. Умножим обе части равенства (где т - фиксированное целое число, и проинтегрируем оба ряда почленно. В результате получим в левой части, а в правой - Сщ. Таким образом, (4, = Ст. Так как m - произвольное число, то последнее равенство доказывает единственность разложения.
Ряд (6), коэффициенты которого вычисляются поформулам (7), называется рядом Лорана функции f(z) в кольце Совокупность членов этого ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, а с отрицательными - его главной частью.
Формулы (7) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяются редко, ибо, как правило, требуют громоздких вычислений. Обычно, если это возможно, используются готовые тейлоровские разложения элементарных функций. На основании единственности разложения любой законный прием приводит к одному и тому же результату.
Пример 2. Рассмотреть разложения в ряд Лорана функции
различных областях, приняв
Фуисция /(г) имеет две особые точки: . Следовательно, имеется три кольцевых области, с центром в точке го = 0. в каждой из которых функция /(г) является аналитической:
а) круг кольцо внешность круга (рис.27).
Найдем лорановские разложения функции /(z) в каждой из этих областей.
Представим /(z) в виде суммы элементарных дробей
а) Круг Преобразуем соотношение (16) следующим обра-
Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получим
Подставим найденные разложения в формулу (17):
Это разложение является рядом Тейлора функции /(z).
б) Кольцо для функции -г остается сходящимся в этом кольце, так как
Ряд (19) для функции j^j при |z| > 1 расходится. Поэтому преобразуем функцию /(z) следующим образом:
вновь применяя формулу (19), получим, что
Этот ряд сходится для. Подставляя разложения (18) и (21) в соотношение (20), получим
в) Внешность круга для функции -г при |z| > 2 расходится, а ряд (21) для функ-
Представим функцию /(z) в следующем виде: /<*>
Используя формулы (18) и (19), получим
ИЛИ
1 Эгот пример показывает, что для одной и той же функции f(z) лорановское разложение, вообще говоря, имеет различный вид для разных колец.
Пример 3. Найти разложение 8 ряд Лорана функции
Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация
а кольцевой области
А Воспользуемся представлением функции f(z) в следующем виде:
и преобразуем второе слагаемое
Используя формулу для суммы членов геометричесхой прогрессии, получим
Подставляя найденные выражения в формулу (22), имеем
Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию
в окреслюсти тонки zq = 0. Для любою комплексного имеем
Положим
Это разложение справедливо для любой точки z Ф 0. В данном случае кольцевая область представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой z - 0. Эту область можно определить следующим соотношением:
Данная функция является аналитической в области
Из формул (13) для коэффициентов ряда Лорана такими же рассуждениями, что и в предыдущем параграфе, можно получить неравенства Kouiw. если функция f(z) ограничена на окружности, где М - постоянная),то
Изолированные особые точки
Точка zo называется изолированной особой точкой функции / (z), если существует кольцевая окрестность точки
(это множество иногда называют также проколотой окрестностью точки 2о), в которой функция f(z) однозначна и аналитична. В самой точке zo функция либо не определена, либо не является однозначной и аналитичной. В зависимости от поведения функции /(г) при приближении к точке zo различаются три типа особых точек. Изолированная особая точка называется:
1) устранимой, если существует конечный
2) пмюсач, если
3) существенно особой точкой, если функция f(z) не имеет предела при
Тип изолированной особой точки тесно связан с характером лорановского разложения функции выколотым центром го.
Теорема 16. Изолированная особая точка z0 функции f(z) является устранимой особой точкой в том и только в тач случае, когда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки zo не содержит главной части, т. е. имеет вид
Пусть zo - устранимая особая точка. Тогда существует конечный, следо-
вательно, функция f(z) ограничена впрокологой окрестности точки го, Положим
В силу неравенств Коши
Так как р моямо выбрать скольугодно малым, то все коэффициенты при отрицательных степенях (z - 20) равны нулю:
Обратно, пусть лорановское разложение функции /(г) в окрестности точки zq содержит только правильную часть, т. е. имеет вид (23) и, следовательно, является тейлоровским. Нетрудно видеть, что при z -* z0 У фуниции /(г) существует предельное значение:
Теорема 17. Изолированная особая точка zq функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда функция J(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки zq,
Згмечаи не. Пусть го - устранимая особая точка функции /(г). Полагая
мы получим, чтофункция /(г) аналитична в некотором к руге с центром в точке го. Это определяет название точки - устранимая.
Теорема 18. Изолированная особая точка zq функции f(z) является полюсом в том и только в том случае, когда главная частьлорановскогоразложения функции f(z) в окрестности точки содержит конечное (и положительное) числоотличных от нуля членов, т. е. имеет вид
4 Пусть z0 - полюс. Так как
то существует проколотая окрестность точки z0, в которой функция f(z) аналитична и отлична от нуля. Тогда в этой окрестности определена аналитическая функция
причем
Следовательно, точка zq является устранимой особой точкой (нулем) функции
или
где h(z) - аналитическая функция, h(z0) Ф 0. Тогда
аналитична и h(zo) ф 0, то функция щ аналитична в окрестности
точки zq, и следовательно,
откуда получаем, что
Предположим теперь, что функция f(z) имеет в проколотой окрестности точки zо разложение вида (24). Это означает, что в этой окрестности функция f(z) аналитична вместе с функцией. Для функции g(z) справедливо разложение
из которого видно, что zq - устранимая особая точка функции g(z) и существует
Тогда функция
при 0 стремится - полюс функции Имеет место еще один простой факт.
Точка Zq - полюс функции f{z) в том и только в том случае, когда функцию g(z) = ущ можно доопределить до аналитической функции в окрестности точки zq, положив g(z0) = 0.
Порядком полюса функции f(z) называется порядок нуля функции jfa. Из теорем 16 и 18 вытекает следующее утверждение.
Теорема 19. Изолированная особая тонка является существенно особой в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения в проколотой окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.
Пример 5. Особой точкой функции является zo = 0. Имеем
Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация
Следовательно, zo = О - устранимая особая точка. Разложение функции /(z) в ряд Лорана в окрестности нулевой точки содержит только правильную часть: Пример7. /(г) =
Особая точка функции f(z) есть zq = 0.
Рассмотрим поведение этой функции на действительной и мнимой осях: на действительной оси
при х 0, на мнимой оси
Следовательно, ни конечного, ни бесконечного предела f(z) при z -* 0 не существ ует. Значит, точка го = 0 - существенно особая точка функции f(z).
Найдем лорановское разложение функции f(z) в окрестности нулевой точки. Для любого комплексного С имеем
Положим. Тогда
Лорановское разложение содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями z.
Решение
. В разложении (1) заменяем х на -х 2 , получаем:
, -∞
.
Решение
. Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:
подставляя вместо х в формулу –х, получим:
Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а
). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х
стоит k(х-а
) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t
=х-а
и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
на элементарные:
с областью сходимости |x| < 1/3.
Решение
. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х
=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
=
Полученный ряд сходится при или –3
Решение
.
Ряд сходится при , или -2 < x < 5.
Решение
. Сделаем замену t=х-2:
Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим π / 4 t, получим:
Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Приближенные вычисления с помощью степенных рядов
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:
Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х
, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n
членов (n
– конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:
Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x) . Для этого применяют следующие приемы:
Решение
. Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем
Решение
. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.
так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
Решение
. Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx
на x
, получим:
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:
Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.
Решение
.
. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
≈0.0001<0.001. Следовательно, 
.Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд
(Теорема Тейлора).
с кусочно-гладкой границей
,
.
Тогда функция
разлагается в степенной ряд по степеням
в круге
(расстояние от точки до границы области).
лежит внутри
,
поэтому можно выбрать
целиком лежит в области
.
- аналитическая в
и на
.
То есть
на
.
.
и
равномерно сходится по признаку
Вейерштрасса в круге
.
В самом деле, по следствию из интегральной
формулы Коши
.
Заметим, что точно так же записывался
ряд Тейлора для функции действительной
переменной:
.
Таким образом, показано, что функция,
аналитическая в круге, разлагается в
нем в сходящийся степенной ряд. Это
разложение единственно и оказываетсярядом Тейлора
для данной функции.
Коэффициенты разложения вычисляются
однозначно по формулам
.Неравенства Коши.
,
где
.
Таким образом, справедливынеравенства
Коши
для коэффициентов ряда Тейлора
разложения функции в окрестности точки
.
По следствию из интегральной теоремы
Коши для многосвязной области здесьRможно выбрать любым, лишь быRне превышало расстояния от точки
до границы областиG.Ряд Лорана.
=
+
.
.
Это слагаемое называетсяправильной
частью ряда Лорана
и является, как
сумма степенного ряда аналитической
функцией.
,
запишем главную часть в виде
.
Относительно переменнойt
.
Возвращаясь к переменнойz,
получим, что главная часть сходится во
внешности круга, радиусаr:
. Ряд Лорана сходится в области,
представляющей собой пересечение
областей сходимости правильной и главной
частей. Поэтомуобласть сходимости
ряда Лорана представляет собой круговое
кольцо
.
Радиусы сходимостиr,Rопределяются для степенных рядов
обычным образом, сходимость на границах
кольца также исследуется, как в степенных
рядах. Кольцо может быть вырождено,
представлять собой окружность, еслиr= R или пустое множество, если r > R.Теорема Лорана.
,
аналитическая в круговом кольце
и
на его границе,разлагается в нем в
сходящийся ряд Лорана.
Рассмотрим
круговое кольцо
,
построим внутри него еще одно круговое
кольцо с радиусами
так,
что
.
Рассмотрим произвольную точку
во
внутреннем кольце, проведем из нее,
как из центра окружность радиусом
так,
чтобы она лежала целиком внутри
внутреннего кольца.
=
+
=
-
.
,
.
и
равномерно сходится по признаку
Вейерштрасса в круге
.
- аналитическая на
,
следовательно, она непрерывна и ограничена
на
.
То есть
на
.
.
.
Этот ряд мажорируется сходящейся
бесконечно убывающей геометрической
прогрессией
и
равномерно сходится по признаку
Вейерштрасса в круге
.
Следовательно, его можно почленно
интегрировать, получая сходящийся ряд.
,
где коэффициенты ряда Тейлора равны
=
).
,
.
.
- аналитическая на
,
следовательно, она непрерывна и ограничена
на
.
То есть
на
.
.
Этот ряд мажорируется сходящейся
бесконечно
и
равномерно сходится по признаку
Вейерштрасса во внешности круга
.
Следовательно, его можно почленно
интегрировать, получая сходящийся ряд.
,
где коэффициенты ряда Тейлора равны
.
(По следствию из теоремы Коши для
многосвязной области интегрирование
по
можно
заменить интегрированием по
).
,
где коэффициенты ряда Лорана раны
.
.
.