Интересная фигура из фигуры ленты мебиуса. Лента Мебиуса и ее сюрпризы. Научные игрушки. Смотреть что такое "Лента мебиуса" в других словарях

Волшебная, нереальная - это все эпитеты, которыми можно наградить ленту Мебиуса. Одну из самых больших загадок современности. Возможно, именно лента Мебиуса скрывает в себе загадки взаимодействия всего существующего в нашей Вселенной. У этой фигуры есть загадочные свойства и вполне реальные области применения.

Лента Мебиуса является одной из самых необыкновенных геометрических фигур. Несмотря на ее необычность, ее легко сделать в домашних условиях.

Лента Мебиуса – это трехмерная неориентируемая фигура с одной границей и стороной. Этим она уникальна и отлична от всех других предметов, которые могут встретиться в повседневной жизни. Ленту Мебиуса также называют листом Мебиуса и поверхностью Мебиуса. Она относится к топологическим объектам, то есть объектам непрерывным. Такие объекты изучает топология - наука, исследующая непрерывность среды и пространства.

Интерес вызывает уже само открытие ленты. Два математика, несвязанных между собой, открыли ее в одном и том же 1858 году. Этими открывателями были Август Фердинанд Мебиус и Иоганн Бенедикт Листинг.

Условно различают ленты по способу сворачивания: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Их еще называют правая и левая. Но различить «на глаз» вид ленты невозможно.

Сделать такую фигуру чрезвычайно просто: нужно взять ленту ABCD. Свернуть ее так, чтобы соединить точки A и D, В и С, склеить соединенные концы.

Некоторые считают, что эта загадочная геометрическая фигура - прообраз перевернутой восьмерки-бесконечности, на самом деле это неверно. Этот символ был введен для использования намного раньше, чем была открыта лента Мебиуса. Но сходность смысла этих фигур определенно есть. Мистики называют ленту Мебиуса символом двойственного восприятия единого. Лента Мебиуса словно говорит о взаимопроникновении, взаимосвязанности и бесконечности всего в нашем мире. Недаром, ее часто используют в качестве эмблем и товарных знаков. Например, международный символ переработки выглядит как лента Мебиуса. Лента Мебиуса может быть также своеобразной иллюстрацией некоторых явлений в природе, например, круговорота воды.

Лента Мебиуса имеет характерные свойства, они не меняются, если ленту сжимать, комкать или резать вдоль.

К этим свойствам относятся:

Односторонность. Если взять ленту Мебиуса и начать закрашивать в любом ее месте и направлении, то постепенно вся фигура будет закрашена целиком, при этом фигуру не нужно будет переворачивать.
Непрерывность. Каждую точку этой фигуры можно соединить с другой ее точкой, при этом ни разу не выходя за края ленты.
Двусвязность (или двумерность). Лента остается цельной, если резать ее вдоль. Из нее не получатся в этом случае две разные фигуры.
Отсутствие ориентированности. Если представить, что человек мог бы идти по этой фигуре, то при возвращении в точку начала путешествия, он бы превращался в свое отражение. Путешествие по листу бесконечности могло бы продолжаться вечно.

Если взять ножницы и немножко поколдовать над этой загадочной поверхностью, то получится создать дополнительные необычные фигуры. Если резать ее вдоль, по линии, удаленной от краев на равное расстояние, то получится закрученная «Афганская лента». Если полученную ленту разделить вдоль, посередине, то образуются две ленты, взаимопроникающие друг в друга. Если положить друг на друга несколько полосок и соединить в ленту Мебиуса, то если такую фигуру развернуть, снова получится «Афганская лента».

Если разрезать ленту Мебиуса с тремя или большим количествам полуоборотов, то получатся кольца, называющиеся парадромными.

Если склеить вместе две ленты Мебиуса вдоль границ, то выйдет другая удивительная фигура – бутылка Кляйна, но ее нельзя сделать в обычном трехмерном пространстве.

Если сгладить некоторые грани листа Мебиуса, то выйдет невозможный треугольник Пенроуза. Это плоский треугольник-иллюзия, когда смотришь на него, он кажется объемным.

Лист Мебиуса – неиссякаемый источник для творчества писателей, художников и скульпторов. Его упоминание часто встречается в фантастической и мистической литературе. На его свойствах основывались художественные вымыслы о возникновении Вселенной, устроенности загробной жизни, передвижении во времени и пространстве. Лист Мебиуса упоминали в своих произведениях Артур Кларк, Владислав Крапивин, Хулио Кортасар, Харуки Мураками и многие другие.

Известным художником Эшером был создан ряд литографий с использованием ленты. На наиболее известной его работе муравьи ползут по листу Мебиуса.

Свойства ленты Мебиуса позволят показать интересные фокусы. Рассмотрим один из самых известных. Подвешиваются две ленты Мебиуса из калийной селитры, маг касается зажженной сигаретой до средней линии каждой из них. Разгоревшееся пламя удлинит первую ленту, а вторую превратит в две, связанные друг с другом. В форме ленты Мебиуса сделан популярный аттракцион «Американские горки». Часто используют эту геометрическую фигуру ювелиры при создании дизайна драгоценностей.

Ленту Мебиуса широко применяют в науке и промышленности. Она является источником для множества научных исследований и гипотез. Существует, например, теория, что ДНК – это часть листа Мебиуса. Исследователи в области генетики уже научились разрезать одноцепочную ДНК так, чтобы получить из нее ленту Мебиуса. Физики говорят о том, что оптические законы базируются на свойствах листа Мебиуса. Например, отражение в зеркале – это своего рода передвижение во времени по аналогичной траектории. Есть научная гипотеза о том, что Вселенная – это гигантская лента Мебиуса.

В начале 20 века Никола Тесла изобрел резистор Мебиуса, который противостоит потоку электроэнергии, не вызывая при этом электромагнитных помех. Он состоит из двух проводящих поверхностей, которые скручены на 180 ° и образуют ленту Мебиуса.

Полоса ленточного конвейера (транспортирующей машины непрерывного действия) сделана в форме ленты Мебиуса. Такая поверхность позволяет увеличить срок использования ленты, так как ее изнашивание будет происходить равномерно. Используют форму ленты Мебиуса и при записи на непрерывную пленку.

Лист Мебиуса применялся в матричных принтерах для продления срока годности красящей ленты.

На основе ленты Мебиуса создано абразивное кольцо в механизмах для заточки, работает автоматическая передача.

В настоящее время многие изобретатели пользуются свойствами данной ленты для проведения экспериментов и создания новых устройств.

Лента Мебиуса продолжает вызывать стойкий интерес, не только у математиков и изобретателей, но и у обычных людей. Она вдохновляет деятелей искусства на создание загадочных произведений и фантастических теорий. Эксперименты с этой интересной фигурой – увлекательное занятие, как для взрослого, так и для ребенка. Ее свойства нашли свое применение в науке, технике и в быту. Лента Мебиуса - это занимательная математическая загадка, скрывающая в себе смысл идеалистического понимания устройства Вселенной, ее воздействие на нашу жизнь можно изучать бесконечно.

Иванова Елена

Что же такое лист Мёбиуса?

Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мебиуса.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение

Павдинская средняя общеобразовательная школа

(проект )

Выполнила: Иванова Лена,

ученица 9 класса

Руководитель: Г.А. Суркова,

учитель математики, 1 кат.

пос. Павда

2009 г.

Проблемный вопрос:

1.Нашел ли лист Мебиуса практическое применение в повседневной жизни? 2.Существует ли экономическая польза применения ленты Мебиуса в промышленных объектах?

Цель исследования:

Изучить применение ленты Мебиуса в повседневной жизни.

Задачи:

1.Познакомиться с научной фантастикой А.Дж.Дейча, Владислава Крапивина.

2.Познакомиться с изображением Ленты Мебиуса в изобразительном искусстве, скульптуре и графике.

3.Узнать об упоминании листа Мебиуса в исследованиях по биологии, физике, генетике.

4.Познакомиться с применением ленты Мебиуса в промышленности (узнать об эффективности использования таких приборов).

Ход работы:

Этапы работы	Действия
Первый	Формулировка основополагающих вопросов.
Второй	Обсуждение плана проекта. Формулировка проблемы, гипотезы, целей исследования. Составление плана, выбор метода исследования и формы представления результатов
Третий	Сбор материала, его анализ. Проведение исследования. Выполнение заданий. Оформление результатов исследования в виде презентации. Подведение итогов работы над проектом. Рефлексия работы над проектом осуществляется через размышления о том, что удалось и что не удалось.

1.Введение

2.Лист Мебиуса. Понятие. Свойства.

3.Применение Листа Мебиуса.

4.Фокусы Листа Мебиуса.

5.Выводы

6.Список литературы

1.Введение.

Читая математическую литературу, я столкнулась с понятием «Лист Мёбиуса». Меня заинтересовал это интересное словосочетание. И я попыталась узнать, что это такое лист Мебиуса и какое его применение.

Что же такое лист Мёбиуса?

2. Лист Мебиуса. Понятие. Свойства.

Лист Мёбиуса - топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858г. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Свойства листа Мёбиуса:

1.Если двигаться вдоль листа Мебиуса (как и по любой другой односторонней поверхности), не пересекая его границы, то (в отличие от двухсторонних поверхностей) можно попасть в исходное место, оказавшись в перевернутом положении по сравнению с первоначальным. Это тесно связано с неориентируемостью листа Мебиуса.

2. Если отметить на листе небольшую окружность с фиксированным направлениями обхода и двигать ее вдоль листа Мебиуса, не пересекая границы, то можно придти к начальному направлению так, что направление обхода окружности изменится на противоположное.

3.Лист ограничен всего лишь одной замкнутой линией. Поэтому если разрезать лист Мебиуса по средней линии, то он не распадется на две части, а превратится в поверхность гомеофорную линдра, отличающуюся от нее лишь тем, что она дважды перекручена вокруг себя.

Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (не лента Мёбиуса). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

3.Применение.

Фантастика.

Чудесные свойства ленты тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В одном из них, помнится, описывался случай в Нью-йорском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса. Оказалось, что автор не так далек от истины. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Оппоненты этой теории утверждают, что для подобного искривления Вселенной не хватит массы, но, во-первых, распределение плотности вещества еще до конца не изучено, во-вторых, не учитывается наличие так называемой "скрытой массы", да и нейтрино, как выяснили совсем недавно, обладают положительной массой покоя, а не нейтральны.

В рассказе Артура Кларка «Стена Темноты» . Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл « В глубине Великого Кристалла ».

Искусство.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Техника.

Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Генетика.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Физика .

Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой... правильно, зеркального своего двойника!

Изобретения.

Патентные службы вынуждены были познакомиться с поразительными свойствами листа Мебиуса — в разное время и в разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все та же односторонняя поверхность.

В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, который придумал трехэлектродную лампу — триод, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Ему выдали патент № 1442632.

Изобрели магнитофон — и сразу же нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое. (Речь идет, разумеется, о так называемой «непрерывной ленте», то есть замкнутой в кольцо, вроде автоматических телефонных часов или милицейских лозунгов о безопасности движения, передаваемых через репродукторы патрульных машин.).

В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свидетельство № 236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной.

Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство № 259449).

В 1963 году патентное ведомство США зарегистровало целых два «практически геометрических» изобретения. Некто Джакобс поставил свои знания топологии на службу химчистки — он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «работая» при этом обеими своими сторонами. А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации «Сандиа» в Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

4.Фокусы.

1.В одном из них показывающий вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной бумажной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое в двое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом.

Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивания. Второе кольцо (его называют листом Мебиуса) получается присоединение концов ленты, перекрученной один раз на 180º. Одним из наиболее любопытных свойств этой поверхности, имеющей только одну сторону и один край, является то, что, разрезая ее вдоль по середине, мы получаем одно большое кольцо, если же разрезать его не посередине, а на расстоянии в 1/3 ширины от края, то получается два кольца: одно большое и сцепленное с ним маленькое. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды, т.е на 360º.

2.В другом варианте фокуса кольцо разрезается на два отдельных кольца, одно из которых при разрезании посередине превращается тоже в два отдельных кольца, а другое - в одно большое.

Можно придумать и другие комбинации.

Теперь, когда вы познакомились с листом Мебиуса, наверное, уже никакая сила не удержит вас от того, чтобы не клеить все новые и новые ленты, закручивая их то на один, то на два, а то и на три полуоборота, и потом беспощадно разрезать вдоль. И вы будете вознаграждены за свою любознательность — полоска бумаги повторит все фокусы, показанные в цирке.

5. Выводы:

Лист Мебиуса имеет одну сторону.
Лист Мебиуса имеет один край.
Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лепта Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.
Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и литературе.

6. Список литературы.

1. М. Гарднер «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978 г.

Давайте поэкспериментируем: вырежем из бумаги полоску, склеим концы ленты, но не так, как обычно, а с поворотом на 180 градусов. У нас получилась лента Мёбиуса.

Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли ради научного интереса - теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась ещё в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.

Свойства ленты Мёбиуса

Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернётесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы её не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя . Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.

Поработаем ножницами ещё раз: проткнём эту ленту и аккуратно разрежем её вдоль - точно посередине. «Ну вот, - подумаете вы, - сейчас получатся два отдельных кольца…».

Но что это? Вместо двух колец, получается одно! Причём оно больше и тоньше первоначального, и перекручено дважды. «Такого не бывает», - скажете вы. Бывает.

Как Вы думаете, что станет с этой фигурой, если её снова разрезать? Может быть, снова выйдет одна целая, но перекрученная полоска бумаги? Нет. На этот раз получатся уже два сцепленных кольца.

Вот такие интересные метаморфозы таит в себе лента Мебиуса. Вы можете показать друзьям эти явления, выдавая их за фокусы, тогда как на самом деле вы просто продемонстрируете им математические законы.

Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - топология .
Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитым топологом и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем!

Лента Мёбиуса в архитектуре

А где в реальной жизни можно увидеть ленту Мёбиуса? Многие архитекторы в своих проектах пытаются использовать загадочную ленту. Так бельгийский архитектор Винсент Каллебо для парка в Тайване разработал новое здание, которое напоминает ленту Мебиуса.

Сооружение имеет форму ласточкиного гнезда и начинается с треугольника, а затем закручивается в эллипс. Внутри строения можно полюбоваться растениями, предметами искусства или просто совершить прогулку.

Видео демонстрирует загадки ленты Мёбиуса

Методы исследования: анализ литературы по данной теме; сравнение; обобщение; моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями).

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса, немецкий геометр Лейпцигского университета. Первоначально Мёбиус был астрономом. Он ввел аналитические методы исследования, установил понятие проективного преобразования и существование односторонних поверхностей. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

Как -то раз в доме на пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Лист Мёбиуса - это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса.

Топология (от греч. το?πος — место) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Изготовление ленты Мёбиуса.

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо, которое получило особое название - "Лента Мёбиуса".

Опыты с лентой Мёбиуса

1 опыт.

Результат: линия проходит непрерывно по двум сторонам, заканчиваясь в начальной поставленной точке.

2 опыт.

Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, а вот у кольца одна сторона закрашена, а другая - нет.

3 опыт.

Результат: на обычном кольце паук и муха никогда не встретятся, не пересекая края. На листе Мёбиуса паук и муха встретятся не пересекая края в любом случае.

4 опыт:

Результат: получилось два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого. У листа Мёбиуса получилось одно большое кольцо перекрученное в два раза (в виде восьмерки).

5 опыт:

Результат: получилось 2 кольца одно уже, другое шире. В листе Мёбиуса получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое - другое большое.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, был Морис Корнелис Эшер. Одна из известных - муравьи, ползающие по поверхности Ленты Мёбиуса. (см. Приложение 2)

Просмотр содержимого документа
«КОНКУРС ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ ШКОЛЬНИКОВ»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«НОВОЦУРУХАЙТУЙСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

ПРИАРГУНСКОГО РАЙОНА

ЗАБАЙКАЛЬСКОГО КРАЯ

Исследовательская работа на тему:

«Лента Мёбиуса»

Выполнила: ученица 8 «А» класса

МОУ Новоцурухайтуйской СОШ

Симонова Анна Сергеевна

Руководитель: учитель математики

и информатики

Коктышева Юлия Георгиевна

Новоцурухайтуй, 2012 г.

Введение ………………………………………………………………………

История создания листа Мёбиуса…………………………………………

Изучение свойств ленты Мёбиуса…………………………………………

Применение ленты Мёбиуса в нашей жизни…………………………….

Заключение…………………………………………………………………….

Список Литературы………………………………………………………………..

Приложения………………………………………………………………………..

Введение

Актуальность исследования. В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур. Лист Мёбиуса востребован, его применение развивается, и свойства не до конца изучены. Его ценность состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета (см. Приложение 1). Актуальность данной тематики предопределило выбор темы научного исследования.

Цель исследования: исследование поверхности ленты Мебиуса.

Гипотеза: если мыисследуем поверхность ленты Мебиуса, то определим её практическое применение

Объект исследования : лента Мебиуса.

Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса.

Задачи:

познакомиться с историей появления ленты Мебиуса;

выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса;

установить области применения ленты Мебиуса.

Методы исследования : анализ литературы по данной теме; сравнение; обобщение; моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями).

История создания листа Мёбиуса

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868), ученик "короля математиков" Гаусса, немецкий геометр Лейпцигского университета. Первоначально Мёбиус был астрономом. Он ввел аналитические методы исследования, установил понятие проективного преобразования и существование односторонних поверхностей. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.

В 26 лет Мёбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили.

Как –то раз в доме на пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса.

Лист Мёбиуса – это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса.

Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, который почти в тоже время, что и его коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам перекрученную ленту.

Топология (от греч. τόπος - место) - часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Изучение свойств ленты Мёбиуса

Изготовление ленты Мёбиуса. Для изготовления ленты Мёбиуса потребуются бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см.

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D . Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо, которое получило особое название - "Лента Мёбиуса".

Опыты с лентой Мёбиуса

1 опыт. Поставьте точку на одной стороне ленты и начертите линию вдоль неё.

Результат: линия проходит непрерывно по двум сторонам, заканчиваясь в начальной поставленной точке.

2 опыт. Попробуйте закрасить ленту Мёбиуса, а затем обычное кольцо.

Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, а вот у кольца одна сторона закрашена, а другая – нет.

3 опыт. Изготовим из бумаги паука и муху, и отправим их «гулять» сначала по обычному листу, а затем по листу Мёбиуса при этом не пересекая края кольца и ленты.

4 опыт: разрежем кольца пополам вдоль. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)

5 опыт: разрежем кольцо вдоль, отступив от края 1/3. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.). Точно также разрежем и лист Мёбиуса.

Результат: получилось 2 кольца одно уже, другое шире. В листе Мёбиуса получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое.

На основе проведенных опытов можно сделать вывод:

Лента Мёбиуса имеет только один край.

Имеет только одну поверхность.

Объекты по поверхности ленты будут двигаться бесконечно

Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают.

Применение ленты Мёбиуса в нашей жизни

Лента Мёбиуса получила своё применение во многих областях нашей жизни.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, был Морис Корнелис Эшер. Одна из известных – муравьи, ползающие по поверхности Ленты Мёбиуса. (см. Приложение 2)

Кроме того, Лист Мёбиуса встречается и в картинах других художников. (см. Приложение 3)

Встречается он и в архитектуре. (см. Приложение 4) Так, например проектирование национальной библиотеки в Астане по названием «Юрта Мёбиуса».

Их дизайн основан на сочетании четырех форм: кольца, ротонды, арки и юрты, при этом объединенных по принципу ленты Мёбиуса.

Так же есть парковая скамья, повторяющая очертания ленты Мебиуса, ротонда для любования пейзажем посреди поля и дом-гнездо на воде вошли в шорт-лист общероссийской премии в области деревянной архитектуры АРХИWOOD.

Поразил нас и Поп-арт, разработанный для вьетнамского города Хошимин. Со стороны, кажется, что этот многофункциональный комплекс похож на американские горки. Хотя основой для внешнего вида Everrich стали вовсе не американские горки, а лента Мебиуса.

Общая площадь этого многофункционального комплекса составит почти 632 тысячи квадратных метров, 37 этажей. На них расположатся 3 100 жилых квартир, офисные и гостиничные помещения, торговые залы и развлекательный центр.

Использование двойной Ленты Мебиуса можно увидеть в организации структуры выставочного автомобильного комплекса «Мерседес - Бенц».

Лентой Мёбиуса восхищались и поэты. Мы нашли несколько стихотворений, посвященные этому замечательному объекту.

Наталья Юрьевна Иванова

Лист Мёбиуса

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:……

……………………………………..
Лист Мёбиуса. (Дмитрий Худолей)

Двенадцать фраз, всего шесть строф,
С десяток рифм, полсотни слов.
Здесь нет начала, нет конца,
И нет изнанки, нет лица…………

Романтическое описание листа Мебиуса встречается в повести Э.Успенского «Красная рука, черная простыня, зеленые пальцы»
«…Но больше всего поразил Рахманина какой-то странный то ли знак, то ли вензель, то ли орден очень и очень аккуратной работы. Никогда раньше он не видел ничего похожего. Это изделие напоминало или старинный герб иностранного дворянского рода, или герб страховой компании, торгующей научными приборами, потому что основу его составлял лист Мебиуса.
Эта вещь очень понравилась Рахманину… В знаке совершенно четко проступал какой-то смысл, были заложены определенные пропорции и связи.»

Удивительно и применение ленты Мёбиуса в науки и технике. В 1923г изобретатель. Ли де Форес предложил записывать звук на киноленту без смены катушек. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и соединяется в кольцо, при этом появляется возможность записывать и считывать информацию с двух сторон, что увеличивает емкость кассеты. Так же полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.В матричных принтерах красящая лента также имела вид лист Мёбиуса это для увеличения срока годности. (см. Приложение 5)

Вдохновляет лист Мёбиуса и дизайнеров. Примером является кресла Мёбиуса: этот диван повторяет секрет одноименной ленты, который в данном дизайнерском решении используется в качестве создания специальной атмосферы романтичности. (см. Приложение6)
Лист Мёбиуса используют в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. (см. Приложение 7)

Заключение

Таким образом, лента Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которая положила начало новому направлению в геометрии – топологии.

В ходе своего исследования я изучила большое количество литературы. В различных источниках сети Интернет мне встречались работы других учащихся, я проводила сравнение и анализировала прочитанное.

Так же, в своем исследовании я познакомилась с историей создания ленты Мебиуса. Мною было проведено ряд опытов с лентой Мёбиуса, результаты которой меня очень заинтересовали. В связи с этим мне захотелось посмотреть где же используют ленту Мёбиуса. Оказалось, что лента Мёбиуса применяется практически во всех областях нашей жизни.

Работа над темой мне очень понравилось. Для себя я получила много полезной и интересной информации о листе Мёбиуса.

Список литературы

Большая советская энциклопедия. Том 15. Москва.: третье издание, 1974 г.

Смирнова И. М. , Смирнов В. А. Учебник геометрии 7-9 классы. Москва.: Мнемозина, 2009 г.

Журнал «Квант», 1978, №6

Интернет сайты:

http://www.coolreferat.com

http://www.websib.ru

http://www.genon.ru/

http://nsportal.ru

http://zalivino.net/

http://barabinsk.ucoz.ru

http://mou-kislov.narod.ru/

regconf.vstu.edu.ru›

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Александр Пославский

Артемий Бабий

Это небольшой очерк о малоизвестных сюрпризах, которые встречаются при изучении геометрии ленты Мёбиуса.

В литературе встречается несколько названий: проективная плоскость, односторонняя поверхность, лента Мёбиуса, петля Мёбиуса, кольцо Мёбиуса. По укоренившейся у меня привычке в дальнейшем я буду называть предмет нашего изучения кольцом Мёбиуса.

Коротко об общеизвестных сюрпризах кольца Мёбиуса . Это необходимо для понимания того, о чем будет рассказано далее.

Если разрезать кольцо Мёбиуса вдоль по средней линии, то в итоге получится кольцо с двойным полуоборотом. Такое кольцо называют *Афганской лентой* и оно является уже двусхторонней поверхностью с двумя краями (кромками).
Если разрезать кольцо Мёбиуса вдоль края, отступив на 1/3 его ширины, то в итоге получатся два кольца разных размеров: меньшее - кольцо Мёбиуса ( односторонняя поверхность) и большее - *Афганская лента * (двусторонняя поверхность). Эти кольца сцеплены друг с другом.

А сейчас о новых сюрпризах. Они малоизвестны для широкой публики. А самые любознательные читатели могут повторить нижеописанные опыты. Автор очерка не являеется профессиональным математиком-топологом, всё придумал самостоятельно, без посторонней помощи. Поэтому результаты опытов и идеи, высказанные в этом очерке, предлагаются для обсуждения с его автором.

Сюрприз №1

Сначала я попробовал склеить кольцо Мёбиуса не из одной, а из двух полосок бумаги, предварительно уложив их в стопку (Фото 1). Получилось нечто похожее на настоящее кольцо Мёбиуса (Фото2):

Почему “нечто похожее”? Потому что, когда я растянул это кольцо, оказалось, что в результате склейки получилась “” (Фото 3).

И в чем тут сюрприз? А в том, что при растягивании исходного кольца, не нарушалась его целостность. Это значит, что “ достаточно просто складывается в обратном порядке в исходное кольцо (псевдокольцо) Мёбиуса (Фото 4).

Сейчас время вспомнить, что “афганская лента” получается при разрезании настоящего кольца Мёбиуса по средней линии. Так вот, полученная при разрезании, так же просто складывается в псевдокольцо Мёбиуса . Т.е., разрезав кольцо Мёбиуса (далее - кМ ) по средней линии и получив “афганскую ленту” (“ а.л.” ) , можно уже полученную “ а.л.” собрать в псевдокольцо Мёбиуса (далее - ПкМ ). Вы можете просто склеить “а.л.” и сложить ее в ПкМ . Проверено на практике.

Сюрприз №2

Этот сюрприз является продолжением сюрприза 1 . Я склеил уже три бумажные полоски по форме кМ , предварительно уложив их в стопку (Фото 5 и 6).

Получился некий “бутерброд” в форме кМ (Фото 7) . Если растянуть этот “бутерброд” , то он разложится на два кольца: меньшее - это кМ и большее - это “а.л.” , сцепленные друг с другом (Фото 8).

Но такой же результат получается при разрезании кМ по 1 / 3 его ширины! Как и в первом случае, эти два кольца возможно собрать в первоначальное состояние “бутерброда” . Сначала “а.л.” укладывается в ПкМ (Фото 9) , а затем кМ помещается в середину ПкМ (Фото 10). Проверено на практике.

Удивительно, но, разрезав уже “бутерброд” по 1 / 3 ширины, можно собрать новый, более сложный “бутерброд” . Теоретически такое деление “бутербродов” и их собирание можно продолжать... ну очень много раз. В итоге получится многослойный “бутерброд” , состоящий из многих слоёв “афганских лент” и одного кольца Мёбиус а , расположенного в середине “бутерброда” .

Для более образного представления многослойного (бутербродного) строения псевдокольца Мёбиуса предлагаю два рисунка из серии “математики шутят”:

На примере “бутерброда” (Фото 7,10) можно легко и зримо понять ещё одно свойство односторонней поверхности (проективной плоскости): нельзя создать две , параллельные друг к другу, однносторонние поверхности (во всяком случае в нашем трёхмерном, эвклидовом, пространстве). Одна из них обязательно получится двухсторонней.

Здесь я сделаю небольшое отступление. В Интернете я встретил описание эксперимента с кольцом Мёбиуса . Выглядел он так: на полимерную плёнку в форме кМ наносился металлический слой. Над полученным образцом проводились различные действия, считая что проводятся опыты над кМ . Строго говоря, опыты проводились над вышеописанным “бутербродом” , где рабочий металлический слой являлся “афганской лентой” , а кольцом Мёбиуса была несущая полимерная плёнка.

Возвращаясь к теме, хочу заметить, что я тоже хотел поэкспериментировать с кМ . Но меня не устраивала несовершенная форма кМ , полученная из прямоугольных полосок. Эта “прямоугольная” конструкция имеет, как минимум, три зоны деформации, которые четко проявляются при уплощении кМ . Поэтому я посчитал, что кМ , собранные на основе S-образных полосок, более технологичны в работе(Фото 11 и 12).

Чтобы получить кМ изS- образной полоски достаточно состыковать концы полоски и склеить их. Причем, в зависимости от того в какую сторону вы будете перегибать полоску, будет получаться лево- или правозакрученный вариант кМ . Так же просто получается и вышеописанный “бутерброд” : делается стопка из 3 -хS -образных полосок, сводятся их концы и поочередно склеиваются.

Опыты с разрезанием кольца Мёбиуса и собиранием “бутербродов” с этим вариантом более наглядны и сборка получается очень легко.

“Бутерброд” , полученный из трех полосок может послужить моделью для создания конденсатора в форме кМ . Только надо понимать, что в начале необходимо создать кМ из металлической фольги (внутренняя пластина-электрод), а уже на него наносить слои диэлектрика и металлической плёнки (внешняя пластина-электрод). Хотя здесь возможны варианты не с кМ , а с ПкМ и это потребует несколько иного подхода.

Я не знаю, будет ли такая конструкция конденсатора иметь преимущества перед традиционной, но считаю, что она будет интересна для тех, кто занимается торсионными полями. Почему? Это уже тема для дискуссии с автором очерка.

Сюрприз №3

Продолжим. Несмотря на полученный результат, у меня осталась неудовлетворенность несовершенством формы полученного таким способом кМ . Размышляя над этой проблемой, я вспомнил, что кМ относится к торовым поверхностям. Так как у меня с пространственным воображением напряг и мне необходимо всё увидеть глазами и потрогать руками, то я взял кольцо Мёбиуса и оклеил его бумажными кольцами. Получилась вот такая конструкция (Фото 13).

И где здесь обещанный сюрприз? Рассматривая полученный “тор” , я открыл (заостряю - для себя; возможно всё выше- и нижеописанное давно известно читателям этого опуса), что кольцо Мёбиуса не делит внутренний объём тора на две изолированные друг от друга полости. Другими словами: из любой точки, находящейся внутри тора со встроенным в него кМ , можно попасть в любую другую точку внутри, не пересекая плоскость кМ и поверхность тора.

Для наглядности представим себе тор в виде спасательного резинового круга внутри которого находится перегородка в виде кМ . Давление воздуха внутри круга с перегородкой в форме кМ будет распределятся равномерно по всему объёму независимо от того, где будет располагаться ниппель. Кстати, фото 13 очень наглядно моделирует форму магнитного поля вокруг продольной катушки Мёбиуса .

Теоретически принцип построения идеального торового кольца Мёби уса достаточно прост, но практическое исполнение модели торового кМ сопряжено с определёнными техническими трудностями.

Для практического изготовления торовых кМ более всего подходит распечатка на 3-D принтере.

Итак, сюрпризы продолжаются

Сейчас наступило время поговорить о таком замечательном геометрическом теле как ТОР.

Как образуется открытый ТОР ? Правильно, открытый ТОР образуется при вращении торообразующей окружности вокруг оси, находящейся вне этой окружности и имеет вот такой вид (Фото14).

Еще различают пиковый ТОР . Это когда большая ось вращения является касательной к торообразующей окружности. По-простому - бублик без дырки. А также закрытый (осевой) ТОР , когда ось вращения пересекает торообразующую окружность. Хороший пример - округлое яблоко.

Для того, чтобы получить кМ в ТОР е, обозначим в торообразующем круге диаметр (два радиус-вектора). А сейчас заставим торообразующий круг вращаться не только вокруг внешней оси, а одновременно и вокруг внутренней оси ТОР а. За полный оборот вокруг внешней оси круг должен одновременно повернуться на полоборота вокруг внутренней оси. Тогда диаметр (два радиус-вектора) опишет плоскость в виде кМ (Фото 15) .

Но это кМ получено в воображаемом опыте. А как же получить его в реале, не имея в наличии 3-D принтер? Вы можете придумать свой способ, отличный от моего. Я же поступил следующим образом. На поверхности открытого ТОР а (из детской пирамидки) нарисовал траекторию движения радиус-векторов (Фото 16) . Затем взял латунную проволоку, аккуратно обогнул её вокруг ТОР а по этой траектории и получил две половинки края (кромки) торового кМ (Фото 17).

Затем соединил их с помощью двух трубочек, а пространство между ветками полученной петли заполнил отрезками изоленты (Фото 18 и 19).

Кольцо Мёбиуса в ТОР е можно получить и с помощью одного радиус-вектора. При этом он должен одновременно сделать два оборота вокруг внешней оси и полный оборот вокруг внутренней оси. И здесь становятся понятными две вещи: первое - кМ имеет ось симметрии (или среднюю линию) и второе - почему, если разрезать кМ по средней линии, получается кольцо с двойным полуоборотом (*Афг aнская лента* ). Просто представьте себе, что нарисует единичный радиус-вектор при первом обороте вокруг внешней оси, и что при втором.

Внимательный читатель, склеивая кМ и затем разрезая его по средней линии, мог заметить что при этом ножницы совершают один оборот. Если же резать кМ по 1 / 3 ширины, то ножницы совершают уже два оборота.

КМ сохраняет свойства односторонней поверхности и при большем количестве полуоборотов. Главное условие - количество полуоборотов должно быть нечетным.

Такой лист Мёбиуса или кольцо Мёбиуса , как кому нравится, я назвал двухвекторным. Зачем? А затем, что такое кольцо строится двумя радиус-векторами. Ну и что? А то, что...

Сюрприз №4

В торе можна создавать трёх-, четырёх-, ...,N -векторные кольца Мёбиуса . Взгляните на Фото 20. Оно иллюстрирует принцип создания трехвекторного кольца Мёбиуса.

В торообразующей окружности показаны три радиус-вектора - А, В, С . Вращая эту окружность вокруг внешней оси и одновременно закручивая её вокруг внутренней так, чтобы при завершении оборота вектор А состыковался с вектором В (соотвтственно вектор В к С , а С к А ), радиус-векторы опишут (создадут) одностороннюю поверхность в виде трехвекторного (трёхлепесткового) кольца Мёбиуса .

Это универсальный метод получения N-векторных односторонних поверхностей и они будут обладать всеми свойствами обычного кМ.

При таком подходе к построению торовых кМ особое значение приобретает средняя линия (по другому - линия сопряжения). В этом случае линия сопряжения совпадает с внутренней осью тора. Если, к примеру, 3-хвекторный кМ расшить по линии сопряжения, то мы получим вариант “афганской ленты” в тройной петле:

Трёхвекторное кМ , созданное по даной схеме, можно обозначить в виде дроби 1 / 3 , где в знаменателе указывается число векторов, а сама дробь указывает на какой угол закручиваестся каждый вектор при полном обороте.

Я назвал эту дробь индексом км . Например, если я буду говорить о кМ с индексом км = 1 / 4, то это означает, что речь идёт о четырёхвекторном кМ с закрутом в 1 / 4 оборота (умножив на 360 0 , получим результат в градусах) или в 90 0 . Индекс км ,выраженный в градусах - это базовый угол закрута. При этом надо помнить, что индекс км не может принимать значение целого числа .

Приняв во внимание, что кМ может закручиваться по левому или правому винту, я обозначил левый винт знаком ”-“ , а правый винт - знаком “+” . Тогда полная запись индекса км будет выглядеть на примере так: индекс км = + 1 / 4 . Значит речь будет идти о четырехвекторном кМ с закрутом в 1 / 4 оборота(базовый угол закрута - 90 0 ) и правым винтом.

Индекс км становится очень информативным показателем, помогающим достаточно быстро разобраться в огромном семействе многовекторных кМ и их различных сочетаниях.

Я не ставил перед собой задачу описывать и систематизировать всё многообразие семейства торовых кМ и их взаимосочетаний. Остановлюсь только на нескольких осбенностях, которые необходимо учитывать при конструировании девайсов с геометрией кМ .

1. Если индекс км имеет общее кратное для числителя и знаменателя, то при моделировании получается система из нескольких взаимопересекающихся кМ (от 2-х и более). Рассмотрим примеры 6 -тивекторного построения.

Индекс км =+ 2 / 6 , где общее кратное для данной дроби равно 2 . Это означает, что при моделировании получится система из 2-х трехвекторных кМ с базовым углом закрута в 120 0 :

Индекс км =+ 3 / 6 , где общее кратное равно 3 . При моделировании получается система из 3-х двухвекторных кМ с базовым углом в 180 0 :

2. Если индекс км имеет вид 1 / 4 , 1 / 6 , 1 / 8 … 1 / 2 N или 3 / 4 , 5 / 4 , 5 / 6 , 7 / 6 … 2 N±1 / 2N (где N - любое натуральное число, начиная с числа 2 ), то при моделировании получается самопересекающееся кольцо Мёбиуса - от однократного самопересечения до многократного. При этом односторонность такого кМ сохраняется в любом случае. Приведу несколько примеров, подтверждающих данное утверждение: