Абсолютная и условная сходимость ряда примеры решения. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость
Френель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности S на зоны, позволивший сильно упростить решение задач (метод зон Френеля ).
Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S , находящиеся на расстоянии от точки M (рис. 9.2). Точки сферы S , находящиеся на расстояниях , , и т.д. от точки M , образуют 2, 3 и т.д. зоны Френеля.
Колебания, возбуждаемые в точке M между двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки M .
Поэтому при сложении этих колебаний, они должны взаимно ослаблять друг друга:
| , | (9.2.2) |
где A – амплитуда результирующего колебания, – амплитуда колебаний, возбуждаемая i -й зоной Френеля.
Величина зависит от площади зоны и угла между нормалью к поверхности и прямой, направленной в точку M .
Площадь одной зоны
Отсюда видно, что площадь зоны Френеля не зависит от номера зоны i . Это значит, что при не слишком больших i площади соседних зон одинаковы.
В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол и, следовательно, уменьшается интенсивность излучения зоны в направлении точки M , т.е. уменьшается амплитуда . Она уменьшается также из-за увеличения расстояния до точки M :
Общее число зон Френеля, умещающихся на части сферы, обращенной в сторону точки M , очень велико: при , , число зон , а радиус первой зоны .
Отсюда следует, что углы между нормалью к зоне и направлением на точку M у соседних зон примерно равны, т.е. что амплитуды волн, приходящих в точку M от соседних зон , примерно равны.
Световая волна распространяется прямолинейно. Фазы колебаний, возбуждаемые соседними зонами, отличаются на π. Поэтому в качестве допустимого приближения можно считать, что амплитуда колебания от некоторой m -й зоны равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т.е.
.
Тогда выражение (9.2.1) можно записать в виде
| . | (9.2.2) |
Так как площади соседних зон одинаковы, то выражения в скобках равны нулю, значит результирующая амплитуда .
Интенсивность излучения .
Таким образом, результирующая амплитуда, создаваемая в некоторой точке M всей сферической поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной , а интенсивность .
Так как радиус центральной зоны мал (), следовательно, можно считать, что свет от точки P до точки M распространяется прямолинейно .
Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, то амплитуда в точке M будет равна . Соответственно, интенсивность в точке M будет в 4 раза больше, чем при отсутствии экрана (т.к. ). Интенсивность света увеличивается, если закрыть все четные зоны.
Таким образом, принцип Гюйгенса–Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.
Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используются зонные пластинки – система чередующихся прозрачных и непрозрачных колец.
Опыт подтверждает, что с помощью зонных пластинок можно увеличить освещенность в точке М , подобно собирающей линзе.
Вычисляя общее действие волнового фронта в какой-нибудь точке пространства, мы должны учесть, что световые колебания, исходящие из отдельных точек фронта, приходят в «точку наблюдения» с различными фазами. При этом все точки самого волнового фронта находятся в одной фазе. Для простоты вычисления суммарного действия всего волнового фронта мы будем считать, что источник света находится весьма далеко и, следовательно волну можно считать плоской. Пусть расстояние точки наблюдения А от волнового фронта будет (рис. 86). Все точки волнового фронта колеблются в одной фазе. В то же время все точки фронта 5 находятся от на различных расстояниях, вследствие чего суммарное действие всего фронта будет определяться разностью фаз интерферирующих колебаний, приходящих в от отдельных элементов волнового фронта
Рис. 86. Зоны Френеля
Для рассмотрения соответствующей интерференционной картины сделаем следующее построение. Из точки наблюдения А проведем ряд сфер с радиусами:
На поверхности волнового фронта эти сферы вырежут ряд колец, называемых зонами Френеля (рис. 86 и 87). Каждая последующая зона расположена от точки А на полволны дальше, чем предыдущая. На рис. 87 соотношения размеров, конечно, искажены, так как длина световой волны слишком мала для того, чтобы быть изображенной на рисунке. Следовательно, в точку А колебания прибывают от двух соседних зон Френеля в противоположной фазе и при сложении частично уничтожают друг друга.
Рис. 87. Образование зон Френеля
Полного уничтожения колебаний при совместном действии двух соседних зон Френеля не происходит. Это видно из следующих соображений. Вычислим площадь зоны Френеля:
Учитывая, что величина к весьма мала по сравнению с расстоянием мы можем пренебречь вторым членом в скобках и считать площади всех зон Френеля приблизительно одинаковыми, равными
Вместе с тем угол между линией, соединяющей зону с точкой А, и нормалью к фронту волны для каждой последующей зоны больше, чем для предыдущей, вследствие чего амплитуда колебаний, приходящих в постепенно падает с увеличением номера зоны. Ведь,
как было указано в предыдущем параграфе, излучение отдельных точек волнового фронта имеет наибольшую интенсивность в направлении нормали. Это ослабление усиливается еще возрастанием расстояния от зоны Френеля до А с ростом номера зоны. Это обстоятельство и вызывает неполное взаимное уничтожение колебаний двух смежных зон Френеля. Не делая специальных предположений о законе убывания амплитуды элементарных колебаний с расстоянием, мы можем все же утверждать, что с достаточным приближением амплитуда в точке А волны от какой-нибудь зоны является средним арифметическим амплитуд волн от двух смежных зон. На рис. 88 представлена зона, находящаяся между двумя заштрихованными половинами двух смежных зон. В силу указанного выше свойства действие всей этой части волнового фронта в точке а (рис. 87) равно нулю. То же самое можно сказать и о каждой зоне: половина центральной зоны (нулевой) вместе с половиной второй уничтожат первую, половины второй и четвертой уничтожат третью и т. д. Мы получаем, что некомпенсированной остается лишь половина центральной зоны Френеля. Таким образом, колебания, вызываемые в точке А большим участком волновой поверхности имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина центральной зоны.
Рис. 88. Компенсация действия соседних зон Френеля.
В результате мы можем говорить о прямолинейном распространении света от одной точки до другой. Свет, идущий в данную точку, как бы сосредоточен в канале, сечение которого в любом месте равно половине центральной зоны Френеля.
Действие световой волны на некоторую точку сводится к действию половины центральной зоны Френеля только в том случае, если волна безгранична; только в этом случае действия остальных зон взаимно компенсируются, и можно пренебречь действием удаленных зон. Если мы имеем дело с конечным участком волны, то условия становятся существенно отличными.
Характерные дифракционные явления можно наблюдать при прохождении света сквозь малое отверстие или близ экрана.
1. Маленькое круглое отверстие. На рис. 89 изображен отрезок непрозрачного экрана с круглым Ътверстием размеры которого показаны здесь увеличенными в несколько тысяч раз; на отверстие снизу падает параллельный пучок света центр отверстия, две произвольные точки на прямой, перпендикулярной к и проходящей через О. Из центра
описываем концентрические сферы, из которых внутренняя с радиусом а проходит через О, а каждая следующая имеет радиус, наибольший, чем предыдущая. Таким образом,
Ряд таких же концентрических сфер с радиусами, постепенно увеличивающимися на у, опишем из точки Оба ряда сфер будут вырезать в отверстии зоны Френеля. На рис. 89 сферы, описанные вокруг вырезают три зоны, а описанные вокруг - четыре зоны.
Рис. 89. Объяснение дифракции на круглом отверстии (верхняя часть рисунка - разрез, нижняя - план).
При а, значительно превышающем радиус отверстия углы, образуемые прямыми с нормалью, очень малы и поэтому можно считать, что амплитуды волн, исходящих из точек маленького отверстия и достигающих точки равны между собой (то же самое справедливо и для амплитуд волн, исходящих из и достигающих
Так как зоны имеют практически одну и ту же площадь, то действие двух соседних зон в точке взаимно уничтожается. Отсюда следует, что светлыми будут те точки которые находятся от центра отверстия О на таком расстоянии, что в отверстии уложится нечетное число зон Френеля. При этом действие всего отверстия будет равно действию одной некомпенсированной зоны Френеля. Наоборот, такие точки, как для которых число зон, умещающихся в отверстии, четное, должны быть темными, так как в этом случае действие одной половйш зон компенсирует действие другой половины.
Таким образом, если мы поставим за отверстием белый экран, который будем приближать к отверстию или удалять от него, то центр экрана будет становиться по мере перемещения то темным, то светлым. Из закона сохранения энергии можно далее
заключить, что и боковые точки (расположенные в стороне от оси должны быть попеременно то светлыми, то темными: центральное пятно будет окружено рядом светлых и темных колец.
2. Маленький круглый экран. На рис. 90 изображен маленький круглый экран с краями На экран падают параллельные лучи Если бы лучи распространялись вполне прямолинейно, то за экраном образовалось бы теневое цилиндрическое пространство с осью являющейся перпендикуляром, проведенным из центра экрана. Однако волновая теория приводит к иному заключению.
Пусть фронт плоской волны простирается безгранично во все стороны от экрана. Проводим снова сферические поверхности, центром которых служит точка лежащая на оси. Радиус первой сферы радиусы следующих сфер будут:
Эти сферы вырезают на плоскости волны зоны Френеля, площади которых равны между собой. Мы можем применить к этим зонам те соображения, которыми мы пользовались для случая безграничной плоской волны.
Рис. 90. Объяснение дифракции на круглом экране (верхняя часть рисунка - разрез, нижняя - план).
В случае нормального падения параллельного пучка на маленький круглый экран осевая Точка пространства за экраном освещается так, как будто бы действовала только половина первой френелевой зоны, непосредственно примыкающей к краям экрана.
Таким образом, свет распространяется и за экран.
В соответствии с этим опыт показывает, что в центре тени экрана получается светлая точка (рис. II в конце книги). Наблюдать это явление удается, однако, только с экранами, близкими по размерам к центральной зоне Френеля, так как при значительно больших объектах интенсивность светлого пятна весьма мала.
Отметим курьезный исторический факт. Знаменитый математик Пуассон, бывший одним из наиболее резких противников волновой теории света, привел в качестве наиболее убедительного, по его мнению, аргумента против теории то, что согласно ей всегда должен получаться свет в центре тени от экрана. Ему это казалось совершенно неправдоподобным, и он был в большом смущении, когда
простой опыт, произведенный Френелем, подтвердил этот вывод из волновой теории, сделанный ее ярым противником.
Можно изготовить экран (так называемую пластинку зон), который закроет все четные или нечетные зоны Френеля. Тем самым искусственно будут нарушены условия интерференции, учтенные нами выше при расчете действия волновой поверхности. При этом останутся лишь зоны, посылающие в точку А колебания в одной фазе. В результате мы получим в А изображение источника света (рис. 91), образованное колебаниями, приходящими в одной фазе со всей площади пластинки зон. Действие пластинки будет подобно действию линзы; этот факт служит одним из ярких примеров непрямолинейного распространения света.
Рис. 91. Разрез пластинки зон
Большой экран на достаточно большом расстоянии отточки наблюдения дает заметную дифракционную картину. Некоторым явлениям, наблюдаемым во время солнечных затмений, когда экраном является Луна - тело с диаметром можно дать объяснение при помощи дифракции. В то же время маленький экран, стоящий близко от точки наблюдения, не дает дифракционной картины. Часто указывают как на необходимое для наблюдения дифракции условие - на сравнимость величины экрана или отверстия с длиной волны. Из сказанного выше видно, что это не так. На опыте наиболее часто для получения дифракционной картины пользуются объектами, в сотни раз превышающими длину световой волны.
Мы получаем заметную дифракционную картину в виде полос или колец, на которые приходится значительная доля прошедшей световой энергии, если экран или отверстие, помещенные на определенном расстоянии от точки наблюдения, имеют размеры, сравнимые с размерами центральной зоны Френеля. При этом нарушается независимость хода отдельных лучей. В случае, если объекты весьма велики по сравнению с центральной зоной Френеля, дифракционная картина получается лишь в виде незначительной детали на краю геометрической тени, на которую приходится ничтожная доля лучистой энергии, участвующей в образовании всего изображения.
В первом случае мы имеем существенное уклонение от прямолинейного распространения света, во втором практически будут справедливы законы лучевой оптики.
Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в окрестности точки Р, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска.
В данном случае закрытый диском участок фронта волны надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить, начиная с краев диска.
Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результатирующего колебания в точке Р равна
т.к. выражения в скобках равны нулю. Следовательно, в точке Р всегда наблюдается интерфереционный max, соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Экспериментально светлое пятно (пятно Пуассона) впервые получил Ораго. Как и в случае дифракции на круглом отверстии, центральный max окружен концетрическими с ним темными и светлыми кольцами, и интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.
С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки Р и, что особенно существенно, увеличивается угол α между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку Р. В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска (его радиус во много раз больше радиуса закрытой им центральной зоны Френеля), за ним наблюдается обычная тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.
Дифракция на круглом отверстии и на диске впервые была рассмотрена Френелем с использованием метода Гюйгенса-Френеля и основанного на нем метода зон Френеля.
Недостатки теории Френеля:
1.В теории Френеля предполагается, что непрозрачные части экранов не являются источниками вторичных волн а также, что амплитуды и начальные фазы колебаний в точке поверхности Ф, не закрытых непрозрачными экранами, такие же, как и в отсутствие последних. Это неверно, т.к. граничные условия на поверхности экрана зависят от его материала. Правда, это сказывается лишь на малых, порядка λ, расстояниях от экрана. На отверстиях и экранах, размеры которых значительно больше λ, теория Френеля хорошо согласуется с опытом.
2. Теория Френеля дает неправильное значение фазы результатирующей волны. Например, при графическом сложении векторов амплитуд колебаний, возбужденных в точке Р всеми малыми элементами открытого фронта волны, оказывается, что фаза результатирующего вектора А отличается на от начальной фазы колебаний в точке Р, происходящих в действительности.
3. Базируется на чисто качественном постулируемом допущении о зависимости амплитуды вторичных волн от угла α.
Теория Френеля дает лишь приближенный расчетный прием. Математическое обоснование и уточнение метода Гюйгенса-Френеля было сделано в 1882 году Кирхгофом.
§ Дифракция Фраунгофера.
Явление дифракции принято классифицировать в зависимости от расстояний источника и точки наблюдения (экрана) от препятствия, поставленного на пути распространения света. Дифракция сферических волн, картина распределения интенсивности которой наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, называется дифракцией Френеля. Если же расстояния от препятствия до источника и точки наблюдения очень велики (бесконечно велики), говорят о дифракции Фраунгофера.
Между френелевой и фраунгоферовой дифракциями нет принципиального различия и резкой границы. Одна непрерывно переходит в другую. Если для точки наблюдения, лежащей на оси системы, в отверстии препятствия, например, укладывается заметная часть первой зоны или несколько зон Френеля, то дифракция считается френелевой. Если в отверстии укладывается незначительная часть первой зоны Френеля, то дифракция будет фраунгоферовой.
Зоны Френеля - это участки, на которые разбивается поверхность звуковой или световой волны для проведения вычислений результатов или света. Впервые этот метод применил О.Френель в 1815 году.
Историческая справка
Огюстен Жан Френель (10.06.1788-14.07.1827) - французский физик. Посвятил свою жизнь изучению свойств физической оптики. Он еще в 1811 году под влиянием Э. Малюса начал самостоятельно изучать физику, вскоре увлекся экспериментальными исследованиями в области оптики. В 1814 году «переоткрыл» принцип интерференции, а в 1816-м дополнил широко известный принцип Гюйгенса, в который ввел представление о когерентности и интерференции элементарных волн. В 1818 г., опираясь на проделанную работу, разработал теорию Он ввел практику рассмотрения дифракции от края, а также от круглого отверстия. Проводил опыты, ставшие впоследствии классическими, с бипризмами и бизеркалами по интерференции света. В 1821 г. доказал факт поперечности световых волн, в 1823-м открыл круговую и эллиптическую поляризации света. Объяснил на основе волновых представлений хроматическую поляризацию, а также вращение плоскости поляризации света и двойное лучепреломление. В 1823 г. установил законы преломления и на неподвижной плоской поверхности раздела двух сред. Наряду с Юнгом считается создателем волновой оптики. Является изобретателем ряда интерференционных приборов, таких как зеркала Френеля или бипризма Френеля. Считается основателем принципиально нового способа маячного освещения.
Немного теории
Определять зоны Френеля можно как для дифракции с отверстием произвольной формы, так и вообще без него. Однако с точки зрения практической целесообразности лучше всего рассматривать его на отверстии круглой формы. При этом источник света и точка наблюдения должны находиться на прямой, которая перпендикулярна плоскости экрана и проходит через центр отверстия. По сути, на зоны Френеля можно разбивать любую поверхность, сквозь которую проходят световые волны. Например, поверхности равной фазы. Однако в данном случае будет удобнее разбить на зоны плоское отверстие. Для этого рассмотрим элементарную оптическую задачу, которая позволит нам определить не только радиус первой зоны Френеля, но и последующие с произвольными номерами.
Задача по определению размеров колец
Для начала следует представить, что поверхность плоского отверстия находится между источником света (точка С) и наблюдателем (точка Н). Она располагается перпендикулярно линии СН. Отрезок СН проходит через центр круглого отверстия (точка О). Так как наша задача имеет то зоны Френеля будут иметь вид колец. А решение будет сводиться к определению радиуса этих кругов с произвольным номером (м). При этом максимальное значение называют радиусом зоны. Для решения задачи необходимо сделать дополнительное построение, а именно: выбрать произвольную точку (А) в плоскости отверстия и соединить ее отрезками прямых линий с точкой наблюдения и с источником света. В результате получаем треугольник САН. Далее можно сделать так, что световая волна, приходящая к наблюдателю по пути САН, пройдет больший путь, чем та, которая пойдет по пути СН. Отсюда получаем, что разность хода СА+АН-СН определяет разность волновых фаз, которые прошли от вторичных источников (А и О) в точку наблюдения. От этого значения зависит результирующая интерференция волн с позиции наблюдателя, а следовательно и световая интенсивность в этой точке.
Расчет первого радиуса
Получаем, что если разность хода будет равна половине длины световой волны (λ/2), то свет придет к наблюдателю в противофазе. Отсюда можно сделать вывод, что если разность хода будет меньше чем λ/2, то свет будет приходить в одинаковой фазе. Данное условие СА+АН-СН≤ λ/2 по определению есть условие того, что точка А находится в первом кольце, то есть это первая зона Френеля. В таком случае для границы этого круга разность хода будет равна половине длины световой волны. Значит это равенство позволяет определить радиус первой зоны, обозначим его Р 1 . При разности хода, соответствующего λ/2, он будет равен отрезку ОА. В том случае, если расстояния СО значительно превосходят диаметр отверстия (обычно рассматривают именно такие варианты), то из геометрических соображений радиус первой зоны определяется по следующей формуле: Р 1 =√(λ*СО*ОН)/(СО+ОН).
Расчет радиуса зоны Френеля
Формулы для определения последующих значений радиусов колец идентичны рассмотренной выше, только в числитель добавляется номер искомой зоны. В таком случае равенство разности хода будет иметь вид: СА+АН-СН≤ м*λ/2 или СА+АН-СО-ОН≤ м*λ/2. Отсюда следует, что радиус искомой зоны с номером «м» определяет следующая формула: Р м =√(м*λ*СО*ОН)/(СО+ОН)=Р 1 √м
Подведение промежуточных результатов
Можно отметить, что разбитие на зоны - это разделение вторичного светового источника на источники, имеющие одинаковую площадь, так как П м =π* Р м 2 - π*Р м-1 2 = π*Р 1 2 =П 1 . Свет от соседних зон Френеля приходит в противоположной фазе, так как разность хода соседнего кольца по определению будет равна половине длины световой волны. Обобщая этот результат, получаем, что разбитие отверстия на круги (такие, что свет от соседних приходит к наблюдателю с фиксированной разностью фаз) будет означать разбитие на кольца с одинаковой площадью. Данное утверждение легко доказывается с помощью задачи.
Зоны Френеля для плоской волны
Рассмотрим разбивку площади отверстия на более тонкие кольца с равной площадью. Эти круги являются вторичными источниками света. Амплитуда световой волны, пришедшей от каждого кольца к наблюдателю, примерно одинакова. Кроме того, разность фаз от соседнего круга в точке Н также одинакова. В таком случае комплексные амплитуды в точке наблюдателя при сложении на единой комплексной плоскости образуют часть окружности - дугу. Суммарная же амплитуда - это хорда. Теперь рассмотрим, каким образом меняется картина суммирования комплексных амплитуд в случае изменения радиуса отверстия при условии сохранения остальных параметров задачи. В том случае, если отверстие открывает для наблюдателя всего одну зону, картина сложения будет представлена частью окружности. Амплитуда от последнего кольца будет повернута на угол π относительно центральной части, т. к. разность хода первой зоны, согласно определению, равна λ/2. Данный угол π будет означать, что амплитуды составят половину окружности. В таком случае сумма этих значений в точке наблюдения будет равна нулю - нулевая Если будет открыто три кольца, то картина представит собой полторы окружности и так далее. Амплитуда в точке наблюдателя для четного количества колец равна нулю. А в случае когда используют кругов, она будет максимальной и равной значению длины диаметра на комплексной плоскости сложения амплитуд. Рассмотренные задачи в полной мере раскрывают метод зон Френеля.
Кратко о частных случаях
Рассмотрим редкие условия. Иногда при решении задачи говорится, что используется дробное число зон Френеля. В таком случае под половиной кольца понимают четверть окружности картины, что и будет соответствовать половине площади первой зоны. Аналогично высчитывается любое другое дробное значение. Иногда условие предполагает, что некое дробное число колец закрыто, а столько-то открыто. В таком случае суммарная амплитуда поля находится как векторная разность амплитуд двух задач. Когда открыты все зоны, то есть нет препятствий на пути прохождения световых волн, картинка будет иметь вид спирали. Она получается, потому что при открытии большого числа колец следует учитывать зависимость излученного вторичным источником света до точки наблюдателя и от направления вторичного источника. Получаем, что свет от зоны с большим номером имеет малую амплитуду. Центр полученной спирали находится в середине окружности первого и второго колец. Поэтому амплитуда поля в том случае, когда открыты все зоны, вдвое меньше, нежели при открытом одном первом круге, а интенсивность отличается в четыре раза.
Дифракция света зоны Френеля
Давайте рассмотрим, что подразумевают под этим термином. Дифракцией Френеля называют условие, когда сквозь отверстие открывается сразу несколько зон. Если же будет открыто много колец, то этим параметром можно пренебречь, то есть оказываемся в приближении к геометрической оптике. В том случае, когда через отверстие для наблюдателя открывается существенно меньше одной зоны, такое условие называют Его считают выполненным, если источник света и точка наблюдателя находятся на достаточном расстоянии от отверстия.
Сравнение линзы и зонной пластинки
Если закрыть все нечетные или все четные зоны Френеля, тогда в точке наблюдателя будет световая волна с большей амплитудой. Каждое кольцо дает на комплексной плоскости половину окружности. Так что, если оставить открытыми нечетные зоны, тогда от общей спирали останутся только половинки этих окружностей, которые дают вклад в суммарную амплитуду «снизу вверх». Препятствие на пути прохождения световой волны, при котором открыт только один тип колец, называют зонной пластиной. Интенсивность света в точке наблюдателя многократно превысит интенсивность света на пластинке. Это объясняется тем, что световая волна от каждого открытого кольца попадает к наблюдателю в одинаковой фазе.
Подобная ситуация наблюдается и с фокусировкой света с помощью линзы. Она, в отличие от пластинки, никакие кольца не закрывает, а сдвигает свет по фазе на π*(+2 π*м) от тех кругов, которые закрыты зонной пластиной. В результате амплитуда световой волны удваивается. Более того, линза устраняет так называемые взаимные сдвиги фаз, которые проходят внутри одного кольца. Она разворачивает на комплексной плоскости половину окружности для каждой зоны в отрезок прямой линии. В результате амплитуда возрастает в π раз, и всю спираль на комплексной плоскости линза развернет в прямую линию.
Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля.
Лекция 3. Дифракция света
План лекции
3.1. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля.
3.2. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске.
3.3. Дифракция Фраунгофера на щели и решетке.
3.4. Рентгеноструктурные методы исследования строительных материалов.
Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля.
Дифракцией называется отклонение волн от прямолинейного распространения, когда волны, огибая препятствия, заходят в область геометрической тени.
Дифракция света - частный случай дифракции волн. Она проявляется в чередующихся max и min интенсивности, когда фронт световой волны частично экранирован .
Как показывают эксперименты и расчеты, условием получения дифракции света с длиной волны λ от препятствия (или отверстия) размером b , находящегося на расстоянии l от источника, являются соотношения:
Поэтому различают два типа дифракции света:
1) дифракция Френеля – дифракция в сходящихся световых пучках, когда дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, т.е. когда b 2 ~ l λ;
2) дифракция Фраунгофера 1 – дифракция в параллельных лучах, когда источник света и экран расположены далеко один от другого, т.е. когда b 2 << l λ.
Направление распространения волнового фронта можно объяснить по принципу Гюйгенса 2 , который устанавливает способ построения фронта волны в момент времени t + Dt по известному положению фронта в момент времени t (см. рис. 3.1).
|
|
Рис. 3.1
И. Фраунгофер (1787 – 1826), немецкий физик.
2 Х. Гюйгенс (1629 – 1695), нидерландский ученый
Принцип Гюйгенса гласит: каждая точка, до которой доходит волна (в момент времени t), служит центром вторичных волн, огибающая которых дает положение волнового фронта в следующий момент времени (t + Δt).
Однако, принцип Гюйгенса, являясь чисто геометрическим способом построения волновых поверхностей, не затрагивает по существу вопроса об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям.
Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл , дополнив его интерференцией вторичных волн.
Принцип Гюйгенса-Френеля гласит: световая волна, возбуждаемая каким либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции (интерференции ) вторичных когерентных световых волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источниками могут служить физически бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве такой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно.
Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и экраном находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии – такая же, как при отсутствии экрана.
Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точке пространства.
Используя принцип Гюйгенса-Френеля для вторичных волн можно рассчитать результирующую амплитуду световой волны, учитывая фазы интерферирующих волн.
Однако проще это сделать по методу зон Френеля (см. рис. 3.2). Найдем в произвольной точке P экрана амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на воображаемой поверхности Ф, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S.
 |
Рис. 3.2
Согласно методу зон Френеля, на волновой поверхности Ф (радиуса a ) проводятся из точки Р экрана кольцевые зоны, отличающиеся по радиусу r на величину .
При этом площади каждой зоны будут примерно одинаковы:
а, следовательно, будут практически равны и амплитуды световых колебаний в точке экрана Р, т.е.
.
Т.к. колебания от соседних зон проходят расстояния до экрана, отличающиеся на λ/2, то они приходят в точку наблюдения Р в противофазе. Значит амплитуда результирующего светового колебания в точке Р будет:
где i - число зон (номер последней зоны).
Число зон на полусфере будет
При а = r = 10 см и λ = 0,5 мкм: , т. е. N очень велико.
Следовательно, для открытого фронта , т.е.